۲-۴-۱-۲- اعداد فازی
اعداد فازی، زیرمجموعه­ی فازی اعداد حقیقی می­باشند. تابع عضویت عدد فازی  در یک مجموعه فازی،  است. عدد فازی روی مجموعه­ مرجع R به‌عنوان یک مجموعه‌ی فازی نرمال و محدب تعریف می‌شود. عدد فازی مثلثی، از معمول‌ترین اعداد فازی است. تابع عضویت و ویژگی‌های عدد فازی مثلثی  در فرمول(۲-۱) و شکل(۲-۱) نمایش داده شده است(چانگ و وانگ^[۹۳]، ۲۰۰۹).
(۲-۱)

در غیر این صورت

شکل ۲-۱: تابع عضویت عدد فازی مثلثی  منبع: (چانگ و وانگ، ۲۰۰۹)
بر طبق اصول و ویژگی‌های مطرح شده توسط “زاده”^[۹۴]، عملیات جبری اعداد فازی مثلثی  و  به شرح فرمول‌های(۲-۲) تا(۲-۷) است(زاده، ۱۹۶۵)
جمع دو عدد فازی مثلثی (۲-۲)

تفریق دو عدد فازی مثلثی(۲-۳)
ضرب دو عدد فازی مثلثی(۲-۴)
تقسیم دو عدد فازی مثلثی(۲-۵)
ضرب هر عدد حقیقی در عدد فازی مثلثی(۲-۶)
معکوس عدد فازی مثلثی(۲-۷)
۲-۴-۲- روش­های تصمیم‌گیری چند معیاره­ی فازی
تصمیم‌گیری، فرایند یافتن بهترین موقعیت در میان گزینه^­های^[۹۵] موجود است. تقریباً در اکثر مسائل تصمیم‌گیری به علت کثرت معیارها، تصمیم‌گیرنده دچار مشکل می‌شود. از این رو برای اکثر مسائل، تصمیم‌گیرنده می‌خواهد به بیش از یک هدف، در راستای انتخاب نحوه‌ی اجرای فعالیت‌ها، دست یابد(زلنی^[۹۶]، ۱۹۸۲).

در تصمیم‌گیری چندمعیاره­ی سنتی، وزن معیارها کاملاً شناخته شده است: اما به علت وجود ابهام و عدم قطعیت در اظهارات تصمیم‌گیرنده، بیان داده‌ها به‌صورت قطعی نامناسب است. ازآن‌جایی‌که قضاوت­های انسانی نمی‌توانند به‌وسیله­ مقادیر عددی دقیق برآورد شوند و معمولاً مبهم هستند، ازاین‌رو، نمی‌توان از روش‌های تصمیم‌گیری سنتی برای این‌گونه مسائل تصمیم‌گیری استفاده کرد(میرزایی، ۱۳۸۹). در سال­های اخیر، تلاش های بسیاری برای رفع این­گونه ابهامات و عدم قطعیت­ها صورت پذیرفته که نهایتاً به به­ کارگیری نظریه­ مجموعه­های فازی در روش­های ارزیابی چندمعیاره منجرگردیده است(چن و هوانگ^[۹۷]، ۱۹۹۲).
نظریه­ فازی در سال ۱۹۶۵ توسط پروفسور لطفی­زاده نشر پیدا کرده است. این نظریه برای شرایط متغیر و شرایط غیرقابل مقایسه بودن مناسب است. قضاوت­های مردم عموماً به­ صورت مبهم، مانند عبارات زبانی: مساوی، نسبتاً قوی، خیلی قوی، بینهایت قوی و … با یک درجه اهمیت می‌باشد. نظریه­ فازی می‌تواند به ابهام موجود در عبارت‌های زبانی نظردهندگان کمک کند(سمیح^[۹۸]، ۲۰۰۹). مطلوبیت گزینه‌ها در مقایسه با همه معیارها معمولاً به­ صورت اعداد فازی بیان می­گردند که آن را مطلوبیت فازی می­نامند و با روش­های ارزیابی تصمیم ­گیری فازی سنجیده می­شوند. رتبه‌بندی گزینه‌ها بر اساس مقایسه­ مطلوبیت‌های فازی مربوطه است(یه و دنگ^[۹۹]، ۲۰۰۴).
۲-۴-۲-۱- TOPSIS فازی
TOPSIS (روش اولویت‌بندی با توجه به شباهت با راه‌حل ایده‌آل مثبت)، به­عنوان یکی از روش‌های سنتی تصمیم‌گیری­های چندمعیاره شناخته شده است که در سال ۱۹۸۱ توسط هوانگ و یون^[۱۰۰]برای حل مسائل تصمیم‌گیری­های چندمعیاره توسعه داده شد و بر اساس تعیین ایده‌آل بود. گزینه­ی انتخاب شده، باید دارای کوتاه‌ترین فاصله از ایده­آل مثبت و از طرف دیگر، بیشترین فاصله از ایده‌آل منفی باشد(هوانگ و یون، ۱۹۸۱). با کاربرد منطق فازی در این تکنیک، روش TOPSIS فازی به¬دست می¬آید که به گونه ­ای متفاوت از تکنیک TOPSIS است. سابقه­ استفاده از مدل TOPSIS در ایران از آغاز دهه ۱۳۷۰ به شکل محدود آغاز شده است و موارد استفاده از وضعیت فازی به چند سال اخیر محدود می‌شود. مراحل تصمیم‌گیری به کمک تکنیک TOPSIS فازی به‌شرح زیر است(میرغفوری و همکاران، ۱۳۹۲):
گام اول: تشکیل ماتریس تصمیم ­گیری ارزیابی گزینه ها.
گام دوم: بی­مقیاس نمودن ماتریس تصمیم ­گیری: در این گام بایستی ماتریس تصمیم ­گیری فازی ارزیابی گزینه ها را به یک ماتریس بی­مقیاس فازی  تبدیل نماییم. برای به­دست آوردن ماتریس، از رابطه­(۲-۸) استفاده می­ شود.
(۲-۸)
n : تعداد خبره ها m تعداد گزینه ها :
اگر اعداد فازی به صورت(a,b,c) باشند،  که ماتریس بی­مقیاس(نرمالیزه شده) است به­ صورت رابطه­(۲-۹) به دست می ­آید:
(۲-۹)
در این رابطه  ماکزیمم مقدار c در خبره j ام در بین تمام گزینه­ ها است. رابطه­(۲-۱۰) این موضوع را بیان می­ کند:
(۲-۱۰)
گام سوم: ایجاد ماتریس بی­مقیاس موزون فازی  : برای تشکیل ماتریس بی­مقیاس موزون فازی از روابط(۲-۱۱) و (۲-۱۲) استفاده می­ شود.
(۲-۱۱)
(۲-۱۲)
در این رابطه  ماتریس بی­مقیاس به­دست آمده از گام دوم است. توجه شود در این­جا منظور از وزن، وزن نظرات خبرگان می­باشد که یکسان در نظر گرفته شده است.
گام چهارم: مشخص نمودن ایده­آل مثبت فازی^[۱۰۱]  و ایده­آل منفی فازی^[۱۰۲]  :
برای این منظور از روابط(۲-۱۳) و (۲-۱۴) استفاده می­ شود.
(۲-۱۳)
(۲-۱۴)
که  بهترین مقدار معیار i از بین تمام گزینه­ ها و  بدترین مقدار معیار i از بین تمام گزینه­ ها می­باشد. این مقادیر از روابط(۲-۱۵) و (۲-۱۶) به­دست می­آیند.
(۲-۱۵)
(۲-۱۶)
گزینه ­هایی که در  و  قرار می­گیرند، به ترتیب نشان­دهنده گزینه­ های کاملاً بهتر و کاملاً بدتر هستند.
گام پنجم: محاسبه­ی مجموع فواصل هر یک از گزینه­ ها از ایده­آل مثبت فازی و ایده آل منفی فازی.
در صورتی که  و  دو عدد فازی به شرح زیر باشند، آن­گاه فاصله­ی بین این دو عدد فازی به­واسطه­ رابطه(۲-۱۷) به­دست می ­آید:
(۲-۱۷)
با توجه به توضیحات فوق در مورد نحوه­ محاسبه­ی فاصله بین دو عدد فازی، فاصله­ی هر یک از مؤلفه ها را از ایده­آل مثبت و ایده­آل منفی به کمک روابط(۲-۱۸) و (۲-۱۹) به­دست می ­آید.