(Young et al. 1982):
(4)
اين تعريف، بيان مي‌کند که اگر يک ائتلاف، غيرتهي باشد، تابع مشخصه آن بزرگتر يا مساوي صفر، و اگر تهي باشد صفر است. تابع مشخصه يک ائتلاف، نشانگر ارزش آن ائتلاف يا به عبارت ديگر سود يا پيامد ائتلاف است. براي هر دو ائتلاف معمولي جدا از هم  و  ، يك بازي، supper-additive ناميده مي‌شود اگر:
(5)
و ائتلاف‌هاي معمولي، محدب^[31] ناميده مي‌شوند اگر:
(6)
يک راه‌حل براي يک بازي همکارانه معمولي^[32] يک بردار  است که شرايط زير را ارضا مي‌کند:
(7)
که در آن،  پرداخت تخصيص‌يافته به بازيگر  و  تابع مشخصه (ارزش) ائتلاف کلي مي‌باشند. بردار  يک imputation براي بازي  ناميده مي‌شود. روش‌هاي مختلفي براي بدست‌آوردن imputationهاي يک بازي وجود دارد که از ميان آن‌ ها بازي‌هاي بر پايه هسته^[33] و ارزش شاپلي از اهميت بيشتري برخوردارند.
3-3-3-1 هسته^[34]
هسته بيان مي‌کند که (Young et al. 1982):

• • پرداخت تخصيص‌يافته به هر بازيگر نبايد از آن مقدار که بازيگر به تنهايي و بدون شرکت در هيچ ائتلافي کسب مي‌کند، کمتر باشد. اين ويژگي، عقلانيت فردي^[35] ناميده مي‌شود.

• • پرداخت تخصيص‌يافته به هر گروه از بازيگران در نتيجه شرکت آن‌ ها در ائتلاف کل^[36] نبايد از آن مقدار که آن‌ ها بدون شرکت در ائتلاف کل بدست مي‌آورند، کمتر باشد. اين ويژگي، عقلانيت جمعي^[37] ناميده مي‌شود. لازم به تذکر است که عقلانيت جمعي شامل عقلانيت فردي نيز مي‌شود.

• • مجموع پرداخت‌هاي تخصيص‌يافته به بازيگران، بايد برابر با سود کلي توليد‌شده در ائتلاف کل باشد.

مجموعه محدب زير، هسته را در يک بازي  ارائه مي‌دهد که شامل تمام imputation هاي بازي مي‌باشد:
(8)
شرايطي وجود دارند که در آنها هسته وجود ندارد، در اين شرايط، راه‌حل ممکن، سست‌کردن^[38] نامعادله‌هاي تعريف‌کننده هسته است. اين روش، گسترش هسته ناميده مي‌شود. از بازيهاي مشارکتي که بر پايه هسته مي‌باشند مي‌توان به روش­هايNucleolus ، Weak Nucleolusو Proportional Nucleolus اشاره نمود.
در این پایان نامه برای بازتوزیع سود ناشی از بازی همکارانه در هر ائتلاف از بازی همکارانه Fuzzy Variable Least Core استفاده شده است. توضیحات آن در فصل ساختار مدل آمده است.

3-4- تحلیل سناریوها
عدم‌قطعيت در پارامترهاي يك مدل رياضي ممكن است مدل‌كننده را با مشكلات عديده‌اي مواجه كند. بيشتر رويكردها در ادبيات برنامه‌ريزي غيرقطعي، بار سنگيني از داده‌ها و محاسبات را بر كاربر تحميل مي‌كنند. علاوه بر اين، اين مدل‌ها به سختي قابل فهم هستند. يك رويكرد عمومي براي حل مدل‌هاي غيرقطعي اين است كه سناريوهاي مختلفي را براي ضرايب تصادفي آن مدل در نظر گرفته و اقدام به حل آن كنند. دمبو(1990) روشي ساده را براي حل مدل‌هاي غيرقطعي، بر پايه يك شيوه ويژه براي تركيب پاسخ‌هاي هر كدام از سناريوها در جهت رسيدن به يك سياست ممكن و مفيد ارائه كرد. نگرش مطرح‌ شده به لحاظ محاسباتي، ساده و قابل فهم است و به علت عموميت آن نيز، مي‌تواند براي مسائل چند‌هدفه، قيود غيرقطعي پيچيده و حتي در مواردي غير از مورد بهينه‌‌سازي نيز به كارگرفته شود.
3-4-1- تعريف سناريو و سناريو‌سازي
يکي از روش‌هاي اصلي براي مدل‌سازي عدم قطعيت‌ها، سناريوسازي است وتفكر دربارة آينده اغلب با توسعة سناريوها صورت مي‌گيرد. يكي از بهترين تعاريفي كه از سناريو مي‌توان ارائه داد اين است که سناريوها، سلسله‌اي از حوادث فرضي مي‌باشند كه با ملاحظات مربوط به زنجيرة علّی و موضوعات تصميم‌گيري در مورد آينده بيان مي‌شوند. در حقيقت نمونه اولیه‌^[39] تصاوير گوناگوني از آينده هستند كه براساس يك طرح فكري اوليه يا مدل كامپيوتري فراهم مي‌شوند. منابع اوليه اين طرح فكري يا مدل‌ها، اطلاعات مربوط به زمان گذشته‌، حال و آينده مي‌باشند.
علاوه برآن، سناريوها اين امكان را فراهم مي‌كنند كه با ايجاد چهارچوب مناسب، ملاحظات كليدي و فرضيات و شكاف‌هاي برنامه‌ريزي، ناهمگوني‌ها و موارد اختلاف به شكل سيستماتيك مورد توجه قرار گيرند. سيستماتيك‌ بودن اين روش امكاني را فراهم مي‌كند تا به شكلي مناسب با دارا بودن ديدگاه‌هاي مختلف در گذشته و آينده، مسائل به چالش كشيده شوند. نهايتاً با توسعه سناريو، ابزار بسيار قوي براي آناليز سياست‌گزاري‌هاي مختلف فراهم مي‌شود. مطالعات نشان مي‌دهد كه توسعه سناريو امكاناتي را فراهم مي‌كند تا سياست‌گزاران محتاط و محافظه‌كار به درك مناسبي از اوضاع جاري و گذشته رسيده و ارزيابي دقيقي از نتايج حاصل از سياست‌گزاري‌ها در آينده داشته باشند. سناريوهايي كه براساس شرح حال گسترده‌تري استوار بوده و مولفه‌هاي كمي وسيع‌تري را در بر مي‌گيرند، توانايي آن را دارند که مسائل کليدي بيشتري را در نظر بگيرند.
آنچه مسلم است هدف از توسعه سناريوها، تفكر در مورد پيچيدگي‌ها و عدم‌قطعيت‌هاست كه ممكن است به حقيقت منطبق نباشند ولي باعث تسهيل فرايندهاي تصميم‌گيري گردند. روش‌هاي مختلفي براي توسعه سناريو به كار گرفته شده و از آنجا که اغلب سناريوها براساس نظام‌هاي اطلاعاتي رسمي توسعه پيدا مي‌كنند فاقد تنوع و همه‌جانبه‌نگري و ديدگاه‌هاي متفاوت هستند. از طرفي سناريوها با اين پيش‌زمينه توسعه پيدا كرده‌اند كه آنچه در آينده به وقوع خواهد پيوست، ادامه حوادث گذشته خواهد بود. كه اين مطلب مانع از پيش‌بيني‌كردن حوادث جدّی مهم خواهد شد. علاوه بر اين، بسياري از سناريوها فقط براساس استانداردهاي فيزيکي و اقتصادي مشخص ارائه مي­شوند، در حاليكه بسياري از مسائل اجتماعي و زيست‌محيطي طرح‌ها را كمتر مورد توجه قرار مي‌دهند. لذا براي تعريف سناريوها مي‌بايست از افراد مختلف با دانش‌ها و تجارب و ديدگاه‌هاي متفاوت استفاده نمود. سناريوها به صورت يكپارچه بايد شاخص‌هاي فيزيکي، اقتصادي، زيست‌محيطي، اجتماعي و نهادي را لحاظ کنند و در برگيرنده حالات مختلف از آينده (كه شامل حوادث غيرمترقبه نيز مي‌شوند) باشند (نیکو، 1390).
3-4-2- روش های سناریوسازی
سناريوها بدون هيچ محدوديتي، به كمك آمار و احتمالات، تئوري مجموعه‌هاي فازي، نظرات و عقايد تصميم‌گيرنده‌ها و هر روش ديگري كه با آن بتوان تصويري از آينده مجسم كرد، قابل ساخت هستند. در صورتي كه سناريوها مستقل از يكديگر در نظر گرفته شوند، رخداد يك سناريو تأثيري بر رخداد سناريوي ديگر ندارد، هر چند كه در حالت كلي‌تر اندركنش و تقابل آن‌ ها را نيز مي‌توان در نظر گرفت. روش­های معمول سناریوسازی عبارتند از روش سناریوهای موازی، روش درخت سناريوها، روش دمبو^[40] و روش ISM^[41] (نیکو، 1390).
در اینجا جهت سناریوسازی از شاخص بارش استاندارد استفاده شده است. به وسیله این شاخص که در انتهای این بخش توضیح داده می­ شود سناریوهای خشکسالی، ترسالی و نرمال ساخته شده ­اند.
بهينه‌سازي سناريوها هم به ارزاني قابل اجرا و هم به سادگي قابل فهم است. روش بهينه‌سازي سناريوها متفاوت از روش‌هاي سنتي حل مسائل غيرقطعي است. در واقع اين روش، يك چهارچوب براي مدل‌سازي است و نه يك تجويز براي محاسبه جواب. ضمن اينكه در آن انعطاف‌پذيري بيشتري نيز در دست مدل‌كننده براي مدل‌سازي در مدل ردياب وجود دارد كه معمولاً از يك مسأله به مسأله ديگر مي‌تواند تغيير كند.
3-4-3- ساختار عمومي مدل بهينه‌سازي با بهره گرفتن از سناريوها
در يك مدل برنامه‌ريزي براي حل مسأله بهينه‌سازي كه در آن برخي از پارامترها غيرقطعي هستند، جهت در نظر گرفتن عدم‌قطعيت پارامترها، روش تحليل سناريوها را ميتوان به صورت زير به‌كار برد (Dembo, 1991):
همان‌طور كه مي‌دانيم تمام مسائل بهينه‌سازي خطي در حالت كلي به اين صورت مدل مي‌شوند:
(9)
که در آن  تابع هدف،  قيود غيرقطعي و  قيود قطعي مسأله بهينه‌‌سازي هستند. همچنين،  يعني پارامترهاي تابع هدف نيز مي‌تواند غيرقطعي باشد  . براي حل مدل بالا به اين شكل عمل مي‌شود كه براي هر سناريو،  يا  و يا  خاص آن سناريو را در نظر گرفته و مسأله را به صورت زيرمسأله‌هاي بزرگ‌شده زير مدل مي‌كنيم:
(10)
جواب‌هاي بدست آمده از مسأله بالا، يعني  و  ، براي سناريوي  بهينه هستند(  معرف تعداد سناريوهاست)، اما در واقعيت و براي مسأله واقعي الزاماً بهينه نيستند. اگر  بهينه را  و  بهينه را  بناميم آنگاه اگر قرار باشد  بهينه شود و در عين حال  هم به طور متوسط تمام سناريوها را بهينه كند، رويكردي مناسب براي اعمال اين مقصود، استفاده از روش حداقل‌سازي انحراف از مربعات^[42] مي‌باشد. يعني مي‌توان در مرحله دوم، مي‌توان با بهره گرفتن از مدل بهينه‌سازي زير به مقصود بالا رسيد:
(11)
که در معادله بالا،  احتمال وقوع سناريوي  است. براي توجيه مدل دوم، مي‌توان گفت كه اگر جواب بهينه، يعني  در توابع  و  قرار بگيرد الزاماً با مقادير  و  برابر نمي‌گردد و به ميزاني از  و  انحراف خواهند داشت. در اصل، جواب بهينه  نسبت به سناريوهاي مختلف يك انحراف به‌صورت  و همين‌طور  ايجاد خواهد كرد. هدف از تدوين مدل بهينه‌سازي دوم كه مدل ردياب^[43] نام دارد، كم‌كردن مربعات  و  است. به اين صورت كه  بهينه‌اي را پيدا مي‌کند تا در عين حال كه شرط اصلي و قطعي (  ) را ارضا مي‌کند به طور نسبي، تمام قيود غيرقطعي ديگر را نيز به نوعي مد نظر قرار مي‌دهد (رابطه 12).
(12)
در نهايت، اگر بخواهيم اين روش را خلاصه كنيم به ترتيب زير عمل مي‌كنيم:
ابتدا مسأله اصلي براي هر سناريو، به صورت زيرمسأله‌هاي ارائه‌شده در معادله 10، حل‌شده و  يعني مقدار بهينه سناريوي  به دست مي‌آيد. در مرحله بعد، با بهره گرفتن از مدل ردياب، مقادير  و  كه به‌ترتيب، مقادير نهايي متغيرهاي تصميم و تابع هدف با در نظر گرفتن تمام سناريوهاي محتمل قابل رخداد هستند، مشخص مي‌گردند. بدين ترتيب، با بهره گرفتن از اين مدل و با مد نظر قرار دادن اصول روش بهينه‌سازي سناريوها، كه مهمترين آنها رسيدن به يك سياست بهينه و قطعي قابل اجرا در برنامه‌ريزي با در نظر گرفتن عدم قطعيت‌هاي سيستم است، جواب بهينه براي تعيين سياست بهره‌برداري حاصل مي‌شود. همان‌طوري كه قبلاً هم گفته شد از مزاياي اين روش، حل مسائل غيرخطي و همين‌طور مسائل بهينه‌سازي با چندين تابع هدف است. در مورد مسائل غيرخطي كاربرد روش تحليل سناريوها به شكل زير است:
(13)
در معادله بالا،  ،  و  به‌ترتيب، توابع غيرخطي مربوط به تابع هدف، محدوديت‌هاي غير قطعي و در نهايت محدوديت‌هاي قطعي مسئله بهينه‌سازي مي‌باشند.  و  به ترتيب،‌ مقدار تابع هدف و متغير‌هاي تصميم مسئله مي‌باشند.  ،  و  پارامترهاي غيرقطعي مدل هستند. همچنين  و  پارامترهاي قطعي مدل مي‌باشند. در نهايت،  و  نيز به ترتيب قيود غيرقطعي و قطعي مدل بهينه‌سازي مي‌باشند. به منظور حل مدل بالا با ديدگاه بهينه‌سازي سناريوها، در ابتدا با توجه به سناريوهاي متفاوتي كه براي پارامترهاي غيرقطعي مدل مي‌توان در نظر گرفت، زيرمسأله‌هاي زير را كه همگي به صورت قطعي در‌آمده‌اند، بهينه مي‌شوند:
(14)
همانطور كه در مدل‌هاي خطي نيز ذكر گرديد، به مسائل بالا كه هر كدام براي يك سناريو حل مي‌شوند، زيرمسأله گفته مي‌شود و به مسأله‌اي كه انحراف‌ها را حداقل مي‌کند نيز مدل ردياب مي‌گويند. در مورد توابع غيرخطي، مدل ردياب به صورت زير نوشته مي‌شود:
(15)
به كمك مدل ردياب بالا، مقادير  و  كه جواب بهينه با كمترين هزينه به ازاي احتمال رخداد سناريوهاي مختلف در طول دوره برنامه‌ريزي است، بدست مي‌آيند.
در حالت کلي‌تر و در مورد مسائلي با چند تابع هدف^[44] نيز مدل بهينه‌سازي را مي‌توان به شكل زير تعريف كرد:
(16)
که در معادله بالا،  معرف تعداد توابع هدف مي‌باشد. پس از بهينه‌كردن مسأله براي تمام  ها،  بدست مي‌آيد و در نهايت شبيه آنچه در موارد قبلي آمد، با بهره گرفتن از مدل ردياب زير، جواب بهينه با لحاظ تأثير عدم قطعيت‌ها در تصميم‌گيري، تعيين مي‌شود:
(17)
روش در پيش گرفته شده در اين تحقيق براي برخورد با مساله عدم‌‌قطعيت، ويرايشي منحصربفرد از تئوري «تحليل سناريوها» مي‌باشد. با توجه به آنکه زیر مسأله­ها دارای قیود نامساوی هستند، در مدل ردیاب از یک متغییر جانبی جهت در نظر گرفتن پارامتری که دارای عدم‌قطعیت می­باشد استفاده شده است و با توجه به ساختار مدل چند قید جهت تعیین این متغیر کمکی درنظر گرفته شده است. در تابع هدف مدل ردیاب نیز تغییراتی با توجه به اهداف مدل اصلی اعمال شده است. نحوه به کارگیری این روند در فصل بعدی آمده است.