بنابراین براساس قضیه ۲ پیوست دارای توزیع کای اسکور نامرکزی با درجه آزادی و پارامتر نامرکزیت می­باشد.

پارامتر نامرکزیت توزیع کای اسکور را می­توان به صورت زیر نوشت:
بنابراین تحت فرض برابری بردارهای میانگین آماره توزیع کای اسکور مرکزی دارد و در نتیجه برابر با چندک - ام توزیع کای اسکور با درجه آزادی می­باشد.

۱-۳-۲- آماره آزمون تحت فرض مجهول بودن ماتریس­های کوواریانس

در این قسمت به معرفی آماره آزمون تحت فرض مجهول بودن ماتریس­های کوواریانس می­پردازیم. بدین منظور در آماره که در قسمت قبل محاسبه شد، را جایگزین می­کنیم تا آماره به دست آید. فرض کنید و باشد. در این صورت برآوردگر را به صورت زیر تعریف می­کنیم:
در نتیجه آماره آزمون عبارت است از:
(۱-۳-۴)
استفاده از آماره فوق به منظور انجام آزمون برابری بردارهای میانگین، مستلزم اطلاع از توزیع آماره می­باشد که به دلیل مشکل بودن یافتن توزیع آماره فوق، از آزمون­های تقریبی که در فصل­های آینده معرفی خواهد شد، استفاده می­کنیم.

فصل دوم: مقایسه بردارهای میانگین دو جامعه نرمال

مقایسه بردارهای میانگین دو جامعه نرمال
در این فصل به منظور آشنایی بیشتر با مفاهیم گفته شده در فصل اول، به بررسی آزمون­های مربوط به برابری بردارهای میانگین دو جامعه نرمال می­پردازیم.
فرض کنید یک نمونه تصادفی از توزیع نرمال p – متغیره با بردار میانگین و ماتریس کوواریانس باشد. همچنین فرض کنید و به ترتیب نشان دهنده بردار میانگین و ماتریس کوواریانس نمونه ­ای باشند. یعنی:
آزمون زیر را درنظر بگیرید:
۲-۱- آزمون - هتلینگ زمانیکه
در این بخش از روش نسبت درستنمایی به منظور به دست آوردن آماره آزمون استفاده می­کنیم.
فضای پارامتری تحت فرض صفر و در حالت کلی به صورت زیر تعریف می­ شود:
تابع درستنمایی به صورت زیر می­باشد:
بنابراین برآورد درستنمایی و به صورت زیر می­باشد:
در نتیجه
اگر باشد، آنگاه
در این حالت برآورد درستنمایی و به صورت زیر می­باشد:
در نتیجه
در این صورت آماره آزمون عبارت است از:
به گونه ­ای که می­باشد.
براساس آزمون نسبت درستنمایی فرض برابری بردارهای میانگین رد می­ شود اگر:
و یا به طور معادل
براساس قضیه ۳ پیوست
با توجه به مطالب فوق آماره آزمون را می­توان به صورت زیر نوشت:
به گونه ­ای که
و
(۲-۱-۱)
فرض برابری بردارهای میانگین رد می­ شود اگر:
و یا به صورت معادل
.
مقدار ثابت را به گونه ­ای تعیین می­کنیم که باشد. بدین منظور باید از توزیع اطلاع داشته باشیم.
قضیه ۲-۱-۱: فرض کنید باشد به گونه ­ای که و . در این صورت توزیع نامرکزی با درجات آزادی و و پارامتر نامرکزیت دارد. اگر باشد، دارای توزیع مرکزی است.
اثبات: به پیوست مراجعه شود.
نتیجه ۲-۱-۱: براساس قضیه ۲-۱-۱ و با توجه به اینکه
برای آماره معرفی شده در رابطه ۲-۱-۱ تحت فرض می­توان گفت دارای توزیع مرکزی با درجات آزادی و است.
بنابراین مقدار ثابت را به صورت زیر تعیین می­کنیم:
بنابراین
در نتیجه فرض برابری بردارهای میانگین رد می­ شود اگر:
(۲-۱-۲)

۲-۲- آزمون برابری ماتریس­های کوواریانس

برای اینکه آزمون گفته شده در بخش قبل معتبر باشد بایستی فرض برابری ماتریس­های کوواریانس برقرار باشد. بنابراین ابتدا با بهره گرفتن از روش نسبت درستنمایی فرض