مقدار بهره سیستم در مدار پیشرو را که مقدار می­باشد به نام بهره حلقه یا (Loop Gain) معرفی می­کنیم و با نماد L(s) نمایش می­دهیم. دقت کنید که هدف اصلی از ایجاد حلقه کنترلی عبارت است از تنظیم خروجی تا مشابه رفتار نماید. تعبیر ریاضی این خواسته این است که تابع تبدیل و که در رابطه زیر داده شده است نزدیک عدد واحد گردد.
با افزایش بهره کنترل­ کننده تناسبی K مقدار بهره حلقه L(s) افزایش می­یابد و نسبت به عدد واحد نزدیک می گردد، لذا بهره تناسبی در جهت تنظیم خروجی بسیار مؤثر است. از طرف دیگر می­خواهیم تأثیر اغتشاش d را بر روی خروجی تضعیف نماییم.
این بدان معناست که تابع تبدیل فوق بایستی به نزدیکی صفر میل کند. مجددا وجود بهره K در مخرج کسر باعث خواهد شد که با افزایش بهره حلقه K، می­توان مخرج کسر L(s) را بزرگ نموده و این تابع تبدیل را تا حد دلخواه به صفر نزدیک نماییم. بنابراین با افزایش بهره کنترل تناسبی K، دقت بیشتری در تنظیم خروجی و تضعیف بیشتری در تأثیر اغتشاش خواهیم داشت، اما بهره حلقه کنترلی را نمی­توانیم بدون توجه به مسائل دیگر افزایش دهیم. به عنوان مثال تأثیر نویز اندازه گیری n را در خروجی در نظر بگیرید.

با افزایش بی رویه K و بهره حلقه این تابع نیز به عدد واحد نزدیک می‏گردد که معنی آن این است که اثر نویز به صورت ۱۰۰% در خروجی فرایند مشاهده می­ شود و توانایی تضعیف اثر نویز بر خروجی را ندارد. از طرف دیگر با افزایش بهره کنترلی K پایداری سیستم حلقه بسته کاهش می­یابد. به این دو علت، معمولا مقدار بهینه‏ای را بایستی برای کنترل‏کننده تناسبی K تعیین نماییم تا به حاشیه پایداری دلخواه برسیم.
۷-۴-۲- ترم انتگرال‏گیر کنترل‏کننده PID
تأثیر اصلی ترم انتگرال­گیر در کنترل فرآیندهای صنعتی کاهش خطای حالت ماندگار می­باشد. این بدان معناست که پس از گذشت زمان گذرا، پاسخ سیستم به مقدار مطلوب نزدیک گردیده و خطای ماندگار کاهش می­یابد. پاسخ پله واحد سیستمی را در نظر بگیرید که خروجی سیستم آن را بصورت کامل تبعیت نکرده و مطابق شکل زیر پس از گذشت زمان، میزان خطای اندکی باقی بماند. کنترل‏کننده تناسبی به واسطه کوچک بودن خطا تنها مقدار کمی تأثیر در خروجی خواهد داشت، در حالی که در ترم انتگرال‏گیر کنترل‏کننده، همانطور که در شکل مشاهده می­ شود، مقدار خطای به مرور تشدید می‏شود. بدین ترتیب با افزودن ترم انتگرال­گیر به کنترل­ کننده تناسبی، کنترل­ کننده PI خواهیم داشت که در آن خطای حالت ماندگار سیستم به شدت کاهش می­یابد.
شکل ۷-۲۶٫ تاثیر ترم انتگرال‏گیر در کاهش خطای ماندگارکنترل‏کننده PI.
بنابراین می‏توان گفت که در صورت عدم وجود کنترل‏کننده انتگرال­گیر خطای ماندگار تا حدود ۵۰ % است، اما با افزایش بهره کنترل‏کننده انتگرال‏گیر این خطا به تدریج کاهش یافته و یا کاملا از بین می­رود. البته این کاهش خطا با هزینه­ای همراه است و آن کاهش سرعت پاسخ سیستم می­باشد. افزایش ترم انتگرال­گیر در فرآیندهای صنعتی باعث کند شدن پاسخ سیستم می­گردد.
۷-۴-۳- ترم مشتق‏گیر کنترل‏کننده PID
اضافه نمودن ترم مشتق­گیر به کنترل­ کننده به دو منظور صورت می پذیرد: افزایش حاشیه پایداری در سیستم مدار بسته و افزایش سرعت پاسخ یا پهنای باند سیستم. شکل ۷-۲۷ اثر ترم مشتق­گیر را نشان می­دهد.
شکل ۷-۲۷٫ تعبیر ترم مشتق‏گیر.
به علت وجود دینامیک فرایند، هر تغییری در فرمان کنترل با قدری تأخیر در خروجی ظاهر می­ شود. لذا فرمان کنترلی معمولا با تأخیر خطاها را جبران می­سازد. با افزودن یک ترم مشتق­گیر می­توان تخمینی از میزان خطا با توجه به شیب خطا در زمان آینده به دست آورد و از این اطلاعات جهت رفع تأخیر در پاسخ سیستم استفاده نمود.
دقت کنید رابطه ، با تخمین خطا در زمان با بهره گرفتن از بسط تیلور طبق فرمول زیر به دست آمده است:
بنابراین فرمان کنترلی متناسب است با تخمین میزان خطا در زمان آینده، لذا زمانی است که در تخمین خطا مورد محاسبه قرار خواهد گرفت، از طرفی افزایش بهره مشتق­گیر سرعت پاسخ را افزایش می­دهد ولی به هزینه افزایش نوسانات و کاهش پایداری، لذا نبایستی را خیلی افزایش دهیم.
۷-۴-۳-۱- مشتق‏گیر با فیلتر
در مشتق‏گیری بصورت عددی بایستی یک نکته رعایت گردد. اگر سیگنال­های ما دارای نویز باشند و این نویز را در عملیات مشتق گیری فیلتر نکنیم، دامنه نویز پس از مشتق‏گیری افزایش یافته و این باعث از دست دادن اطلاعات دقیق در فرایند می­گردد. بنابراین در کلیه فرآیندهای صنعتی عملیات مشتق­گیری را با مشتق‏گیرهمراه با فیلتر جایگزین می‏کنیم.
تابع تبدیل مشتق‏گیر بدون فیلتربه صورت زیر توصیف می‎‏شود:
و تابع تبدیل مشتق‏گیر با فیلتر نیز به صورت زیر خواهد بود:
که در آن می‏باشد [۶۸].
با توجه به تعریف‏های ارائه شده در بالا می­توان هرگونه کنترل­ کننده ­ای را به صورت گسسته و به فرم تبدیل Z نمایش داد به عنوان مثال کنترل­ کننده PID را در نظر بگیرید.
و فرض کنید
با قرار دادن تقریب‏های زیر
یا
که در آن h زمان نمونه برداری می­باشد. در حالت کلی می­توان فرم کنترل­ کننده را در فضای حالت Z به نمایش گذاشت
و تنها کافی است برنامه زیر در میکروپروسسور وارد گردد.

• • 1. 1. پیاده‏سازی کنترل‏کننده PID

     

     

۷-۵-۱ پیاده‏سازی کنترل‏کننده PID برای فرایند حرارتی
کنترل PID برای مقایسه با روش کنترل مدل پیش‏بین طراحی و پیاده‏سازی شده است. در گام اول برای فرایند مورد نظر کنترل­ کننده PID طراحی شده است. به دلیل وجود تغییرات ناگهانی به هنگام افزایش دما و مشتق­گیری از آن، سیگنال کنترل ناپایدار می­ شود. بنابراین کنترل­ کننده PI در این حالت برتری خواهد داشت.
برای این فرایند با مدل یکسان در نظر گرفته شده در حالت قبل، ضرایب کنترل­ کننده PID با به کارگیری جعبه ابزار PID نرم­افزار متلب تنظیم شده و بهترین ضرایب برای طراحی این کنترل‏کننده انتخاب شده ­اند. برای این فرایند کنترل­ کننده­ های P و PI به صورت جداگانه طراحی و به فرایند اعمال شده ­اند. ضرایب تنظیم شده برای هر یک از این کنترل­ کننده­ها به صورت زیر است:
P controller PI controller
Ts=5s, Proportional gain=2.043 Ts=5s, Proportional gain=1.9195
Integral gain=0.070865
شکل های ۷-۲۸ و ۷-۲۹ نتیجه اعمال این کنترل­ کننده­ها به فرایند را نشان می­ دهند.
شکل ۷-۲۸٫ نتیجه اعمال کنترل‏کننده PI در مقایسه با کنترل‏کننده P.
شکل ۷-۲۹٫ سیگنال کنترل اعمال شده (درصد).
نتایج اعمال این دو نوع کنترل­ کننده نزدیک به یکدیگر است با این تفاوت که در کنترل­ کننده P نوسانات سنسور دما به صورت مستقیم در سیگنال کنترل ظاهر می­ شود ولی در کنترل­ کننده PI به علت انتگرال­گیری از ترم خطا از زمان گذشته تا لحظه t، این نواسانات کاهش پیدا کرده است. لازم به ذکر است که به دلیل وجود همین نوسانات در سنسور دما، کنترل­ کننده PID به علت مشتق­گیری از ترم خطا، کنترل مناسبی برای این فرایند نخواهد بود. نتیجه اعمال کنترل­ کننده PI برای فرایند دما و مقایسه آن با روش IGPC در شکل۷-۳۰ آورده شده است.
شکل ۷-۳۰٫ پیاده‏سازی کنترل‏کننده PI برای فرایند دما و مقایسه آن با روش IGPC.
نتایج فوق نشان می­دهد که کنترل­ کننده IGPC نه تنها از دقت بالاتری برخوردار است بلکه محاسبه ضرایب کنترلی این روش مبتنی بر پیش ­بینی خروجی سیستم بر اساس مدل تخمین زده شده برای فرایند بوده و پس از پیاده­سازی نیاز به آزمون سعی و خطا برای تنظیم بهتر پارامترهای کنترل نخواهد بود. از دیدگاه پیاده‏سازی، در روش­های کنترل­ کننده PID مرسوم تنظیم پارامترهای کنترل­ کننده مبتنی بر سعی و خطا بوده که پیاده­سازی آن در حالت­های عملی و در صنایع به سختی امکان پذیر است زیرا تا زمانی که بهترین ضرایب برای کنترل­ کننده تنظیم شوند محصول تولید شده قابل استفاده نخواهد بود در حالی که پیاده­سازی روش IGPC با در اختیار داشتن مدل فرایند به سادگی بدون کاهش کیفیت محصول امکان پذیر خواهد بود. یکی دیگر از مزیت­های روش IGPC در مقایسه با کنترل­ کننده PID، تولید سیگنال کنترل یکنواخت برای اعمال به فرایند حتی با وجود نوسان در سیگنال­های ارسالی از ترانسمیتر دما می­باشد، زیرا در این روش در هر زمان نمونه‏برداری یک مسئله بهینه­سازی حل می­ شود، در حالی که روش PI تولید سیگنال کنترل بهینه را تضمین نمی­کند. به همین علت در فرایند دما هنگامی که خروجی فرایند (دما) به سیگنال مرجع نزدیک می­ شود سیگنال کنترل تولیدی به علت وجود نوسان قادر به دنبال کردن سیگنال مرجع نخواهد بود، علاوه بر آن نوسانی بودن سیگنال کنترل می ­تواند عملکرد سخت افزار فرایند (هیتر) را با مشکل مواجه کند. جدول ۷-۱ مقایسه روش کنترل مدل پیش­بین تعمیم‏یافته و کنترل مدل پیش ­بین تعمیم‏یافته صنعتی و کنترل­ کننده PI را برای فرایند حرارتی نشان می­دهد.
جدول ۷-۱٫ مقایسه روش GPC استاندارد و صنعتی با کنترل‏کننده PI برای فرایند دما.