: تغییر مکان کل : سختی
در صورتیکه رابطه بر اساس نوشته شود داریم:
(۲-۲)
رابطه (۲-۲) به علت اینکه اندازه گیری (شتاب زمین) ساده تر شده است استفاده و کاربرد بیشتری دارد.
همانند رابطه (۲-۲) رابطه مشابه ای برای سازه های چند درجه آزادی مانند شکل (۲-۳) بدست می آید:

معادله تعادل سیستم های چند درجه آزادی
(۲-۳)
در رابطه(۲-۳)
: ماتریس جرم
: ماتریس میرایی
: ماتریس سختی
: ماتریس نیروی خارجی
دلیل مطرح کردن معادلات(۲-۲) و (۲-۳) تأکید بر پارامترهای جرم، میرایی و سختی در پاسخ سازه هنگام زلزله است.
معادله حرکت دینامیکی تحت اثر نیروی زلزله (رفتار مصالح غیر خطی)
در رفتار غیر غیر خطی می توان از رابطه (۲-۲) و (۲-۳) استفاده نمود، در واقع در حالت غیر خطی اصل جمع آثار بر قرار نمی باشد. معادلات حرکت دینامیکی در حالت غیر خطی به صورت زیر است.
(۲-۴) معادله حرکت دینامیکی غیر خطیSDOF f(x,+
(۲-۵) معادله حرکت دینامیکی غیر خطیMDOF
همانطور که از روابط مشخص است در حالت غیر خطی سختی و میرایی ثابت نبوده و باید معادلات بالا به روش های عددی (مانند انتگرال گام به گام) حل شود.
لازم به است در حل معادلات فوق معمولاً میرایی را ثابت در نظر گرفته و غیر خطی شدن را فقط برای سختی در نظر می گیرند.
(۲-۶)
همانطور که قبلاً نیز ذکر شد وقتی سازه تحت بارگذاری شتاب نگاشتهای زمین به صورت خطی تحلیل می شود نیروهای وارد بر آن خیلی بیشتر از آن که آئین نامه مقرر می دارد می باشد در واقع آئین نامه مقرر می دارد که سازه به جای اینکه نیروی را به صورت ارتجاعی تحمل نماید نیروی کمتر را با تغییر شکل بیشتر تحمل نماید.
انرژی مستهلک شده
انرژی اعمال شده به یک سیستم غیر الاستیک به وسیله زلزله، به علت هر دو مکانیزم تسلیم و میرایی کاهش می یابد. با انتگرال گیری از جملات مختلف معادله حرکت یک سیستم غیر الاستیک جملات مختلف انرژی به صورت زیر بدست می آید:
(۲-۷)
طرف راست معادله(۲-۷) انرژی اعمال شده به سازه از شروع تحریک زلزله می باشد:
(۲-۸)
توضیح رابطه فوق بدین قرار است که در صورت تغییرمکان سازه به مقدار dx به علت نیروی موثر انرژی اعمال شده به سازه برابر است با:
(۲-۹) که انتگرال رابطه(۲-۹) همان انرژی اعمال شده به سازه است
اولین جمله در طرف چپ معادله (۲-۷) انرژی جنبشی جرم در حرکت نسبی نسبت به زمین است:
(۲-۱۰)
دومین جمله در طرف چپ معادله (۲-۷) انرژی مستهلک شده به علت میرایی می باشد:
(۲-۱۱)
سومین جمله در سمت چپ رابطه (۲-۷) مجموع انرژی مستهلک شده به واسطه تسلیم و انرژی کرنشی قابل بازیابی سیستم می باشد:
(۲-۱۲)
که در آن k سختی اولیه سیستم غیر الاستیک می باشد. بنابراین انرژی مستهلک شده به علت تسلیم برابراست با:
(۲-۱۳)
بر پایه کمیات انرژی تعریف شده رابطه ای برای بیان تعادل انرژی سیستم است:
(۲-۱۴)
تحلیل ارائه شده برای سازه ای است که جرم آن تحت تأثیر نیرو قرار دارد نه برای سازه ای که پایه آن تحت شتاب قرار می گیرد. بنابراین جمله انرژی جنبشی در رابطه (۲-۷) نشان دهنده انرژی حرکت نسبت به پایه است و انرژی را به علت حرکت کلی نشان نمی دهد. لازم به توجه است که انرژی مستهلک شده به واسطه میرایی لزج یا تسلیم فقط بستگی به حرکت نسبی دارد.
مفهوم غیر خطی شدن مصالح و رفتار سازه
بررسی رفتار فولاد
رفتار خطی وغیر خطی
اگر یک عضو فولادی تحت کشش محوری قرار گیرد منحنی تنش- کرنش آن مطابق شکل(۲-۴) می باشد.
منحنی تنش-کرنش فولاد
همانطور که در شکل مشخص است نمودار از سه قسمت الاستیک، پلاستیک و سخت شدگی مجدد تشکیل شده است. در مرحله دوم با افزایش بسیار کم نیرو، جابه جائی زیادی اتفاق می افتد که در حقیقت معنی غیر خطی شدن فولاد است. در عمل از نمودار ایده آل شده تنش و کرنش مانند شکل (۲-۵) استفاده می شود.