شکل ۴-۲ نمودار تغییرات ماتریس سختی  بر حسب نیروی محوری
شکل۴-۳ نمودار تغییرات سختی  بر حسب نیروی محوری
شکل ۴-۴ نمودار تغییرات سختی  بر حسب نیروی محوری
شکل ۴-۵ نمودار تغییرات سختی  بر حسب نیروی محوری
که در نمودار منظور از k_txtx همان  می­باشد. همچنین لازم به ذکر است که مقادیر  منفی هستند و در نمودار اندازه­ این مقادیر آورده شده است.
شکل۴-۶ نمودار تغییرات سختی  بر حسب نیروی محوری
۴-۴- بررسی اثر پیش بار بر المان های ماتریس سختی
در این بخش به بررسی اثر پیشبار بر روی ماتریس سختی پرداخته می­ شود. مشابه آنچه که گفته شد از پارامترهای جدول ۳-۱ استفاده شده است. پیشبار را ۱ کیلو نیوتن قرار داده و مقادیر  ،  ،  ،  را محاسبه می­کنیم. پیشبار را در هر مرحله ۱ کیلو نیوتن افزایش می­دهیم و اثر آن را بر اندازه­ سختی بررسی می­کنیم.
شکل۴-۷ نمودار تغییرات سختی  با تغییرات پیشبار
شکل۴-۸ نمودار تغییرات سختی  با تغییرات پیشبار
شکل۴-۹ نمودار تغییرات سختی  با تغییرات پیشبار
شکل ۴-۱۰ نمودار تغییرات سختی  با تغییرات پیشبار
شکل ۴-۱۱ نمودار تغییرات سختی  با تغییرات پیشبار
همانطور که مشاهده شد با افزایش پیشبار اندازه المانهای ماتریس سختی نیز افزایش می­یاشد. این امر به این دلیل است که افزایش پیشبار منجر به افزایش جابجایی المانهای بلبرینگ می­ شود و در نتیجه با افزایش مقادیر بردار جابجایی، مقادیر درایه­های ماتریس سختی نیز افزایش می­یابد چراکه مستقیماً به بردار جابجایی وابسته است.
۴-۵- بررسی اثر پیش بار بر خصوصیت ارتعاشی سیستم
در این بخش به بررسی اثر نیروی پیشبار بر خصوصیت ارتعاشی سیستم پرداخته می­ شود. بلبرینگ مورد نظر خواص ذکر شده در جدول ۳-۱ را دارد و برای این پژوهش مقادیر جرم و میرایی مذکور در فصل گذشته در نظر گرفته شده است. در این بخش به بررسی تغییرات فرکانس طبیعی با تغییرات پیشبار می­پردازیم.

فرض می­ شود که میرایی مقادیر ذکر شده در فصل گذشته را دارد. لذا برای محاسبه­ی فرکانس نیاز به حل معادله­ ۳-۲۰ می­باشد. با محاسبه­ی ماتریسهای معلوم نیاز است که مقادیر ویژه­ی^[۵۱] معادله­ مذکور محاسبه شود. نتایج حاصل از این محاسبات برای چیدمان پشت به پشت بلبرینگ می­باشد.
شکل ۴-۱۲ اثر نیروی پیشبار بر فرکانس طبیعی مد اول سیستم
فصل پنجم
نتیجه گیری و پیشنهاد ادامه کار
۵-۱- مقدمه
در این پژوهش به بررسی ماتریس سختی و اثر پیش­بار بر خصوصیت ارتعاشی سیستم و همچنین اثر آن بر ماتریس سختی بلبرینگ تماس زاویه­ای دو ردیفه پرداخته شده است.با محاسبه بارهای وارده و تغییرمکان(جابجایی) ایجاد شده در یاتاقان، ماتریس سختی بلبرینگ تماس زاویه­ای دو ردیفه محاسبه شد. سپس با نوشتن معادلات حاکم بر ارتعاش آزاد مستقیم، فرکانس­های طبیعی محاسبه گردید. سپس با معلوم بودن مقادیر بردار نیرو به محاسبه­ی بردار جا به ­جایی با بهره گرفتن از تکنیکهای محاسبات عددی برای حل معادلات غیر خطی در نرم افزار متلب با بهرگیری از روش سکانت پرداخته شد و سپس نتایج آنها ارائه گردید.
۵-۲- نتایج
با بررسی تغییرات نیروی شعاعی  بر ماتریس سختی مشاهده می­ شود که تغییرات محسوسی بر المانهای ماتریس سختی ایجاد می­ شود. ملاحظه می­گردد که با افزایش نیروی شعاعی المانهای ماتریس سختی افزایش می­یابند. مشاهده می­گردد که  با افزایش چشم گیری مواجه شده و تا ۱۳۰ کیلونیوتن بر میلیمتر می­رسد. همچنین مشاهده می­گردد که با افزایش نیرو، افزایش تغییرات  نسبت به  و  بیشتر می­ شود. مشاهده گردید که با افزایش نیرو از ۱ کیلونیوتن به ۱۰ کیلونیوتن، مقدار  به بیش از ۵ برابر افزایش می­یابد. دلیل افزایش مقادیر به دلیل تاثیر پذیری مستقیم مقادیر درایه­های ماتریس سختی از مقادیر بردار جابجایی المانهای بلبرینگ است که با تغییرات نیرو تغییر می­ کنند.
مقادیر  نیز با افزایش بار شعاعی زیاد شده و در ابتدا به ازای نیروی ۱ کیلونیوتن بار شعاعی مقدار حدود ۲۰ کیلونیوتن بر میلیمتر را دارد و با افزایش بار به تدریج افزایش می­یابد و در نهایت حدود ۴ برابر می­ شود. مقادیر  نیز به تدریج افزایش یافته و به حدود ۳ برابر می­رسد.
مقادیر  و  نیز با افزایش نیروی شعاعی افزایش می­یابد اما تغییرات  به مراتب بیشتر از مقادیر  می­باشد. که علت اتفاق این امر به دلیل وجود جمله­ کسینوسی در  می­باشد که زاویه­ی آن با توجه به نحوه­ قرارگیری ساچمه­ها در این پژوهش به گونه ­ای است که جمله­ کسینوسی مقادیر بیشتری را نسبت به جمله­ سینوسی در  به خود می­گیرد.
نتایج حاصل از بررسی اثر پیشبار بیانگر این امر می­باشد که با افزایش پیشبار اندازه­ المانهای ماتریس سختی نیز افزایش می­یابد. با افزایش پیشبار از ۱ تا ۱۰ کیلونیوتن،  با افزایش ۱٫۵ برابری مواجه شده است. تغییرات  نیز همانند  می­باشد.  افزایش ۳ برابری داشته­ است و اندازه­  به بیش از ۶ برابر افزایش یافته است. مقادیر  نیز افزایشی ۴ برابری داشته است.
با بررسی ارتعاشی سیستم و مشاهده­ اثر تغییرات پیشبار بر فرکانس طبیعی، مشاهده گردید که با افزایش پیشبار فرکانس طبیعی سیستم نیز به تدریج افزایش می­یابد. علت این امر این است که با افزایش پیشبار، سختی سیستم بررسی شده افزایش یافته که خود منجر به افزایش فرکانس طبیعی می­ شود که منجر به افزایش پایداری می­ شود زیرا با افزایش فرکانس طبیعی، تشدید در فرکانسهای بالاتری رخ می­دهد.
۵-۳- پیشنهاد ادامه کار
در پژوهشهای آتی می­توان به بررسی اثر زاویه تماس باربرداری شده^[۵۲] بر المانهای ماتریس سختی پرداخت چرا که زاویه­ی تماس مستقیماً بر ماتریس سختی اثر می­گذارد لذا با بررسی تغییرات آن می­توان نحوه­ اثر زاویه­ی تماس را بر ماتریس سختی مشاهده کرد.
همچنین پیشنهاد می­گردد که اثر تعداد ساچمه­های بلبرینگ مورد بررسی قرار گیرد و اثر تغییرات آن بر ماتریس سختی و خصوصیات ارتعاشی سیستم مورد بررسی قرار گیرد. تعداد ساچمه­ها از پارامترهای مهم و مؤثر بر ماتریس سختی می­باشد چراکه بر تحمل بار و خصوصیات ارتعاشی سیستم تأثیر می­گذارد.
از دیگر مواردی که می­توان به آن اشاره کرد این است که به بررسی ماتریس سختی و اثر پیشبار بر خصوصیات ارتعاشی بلبرینگ استوانه­­ای پرداخته شود. این نوع بلبرینگها نیز از جمله بلبرینگهای پرکاربرد می­باشند که در نحوه­ تحمل بار با بلبرینگهای ساچمه­ای تفاوت دارند.
مراجع

1. 1. Y. Kang, C.-C. Huang, C.-S. Lin, P.-C. Shen, Y.-P. Chang, Stiffness determination of angular-contact ball bearings by using neural network, Tribology International, Vol. 39, pp. 461–۴۶۹, ۲۰۰۶٫

1. 1. Y. Kang, C.-C. Huang, C.-S. Lin, P.-C. Shen, Y.-P. Chang, A modification of the Jones– Harris method for deep-groove ball bearings, Tribology International, Vol. 39, pp. 1413–۱۴۲۰, ۲۰۰۶٫

1. 1. C.-M. Lin., Analysis for the Stiffness of Ball Bearings, Master’s thesis, Chung Yuan Christian University, Department of Mechanical Engineering, 2002.

1. 1. A. H. Tedric, N.K. Michael, Rolling bearing analysis: Essential Concepts of Bearing Technology, Fifth Edition, Taylor & Francis Group, ISBN: 0-8493-7183-X, 2007.

1. 1. A. H. Tedric, Rolling bearing analysis, Fourth edition, John Wiley & Sons, Inc, ISBN: 0-471-35457-0, 2001.

1. 1. L. Houpert., A Uniform Analytical Approach for Ball and Roller Bearings Calculations, ASME J. Tribology International., 119, pp. 851 – ۸۵۸, ۱۹۹۷٫

1. 1. B. J. Hamrock, D. Dowson, Isothermal elastohydrodynamic lubrication of point contacts—part I: theoretical formulation, Journal of Lubrication Technology, vol. 98, no. 2, pp. 223–۲۲۹, ۱۹۷۶٫

1. 1. B. J. Hamrock, Fundamentals of Fluid Film Lubrication, McGraw-Hill, New York, NY, USA, 1994.

1. 1. D. E. Brewe, B. J. Hamrock, Simplified solution for elliptical-contact deformation between two elastic solids, Journal of Lubrication Technology, vol. 99, no. 4, pp. 485–۴۸۷, ۱۹۷۷٫

1. 1. T.A. Harris, Rolling Bearing Analysis, J. Wiley, New York, 2001.

1. T. J. Royston, I. Basdogan, Vibration transmission through self-aligning (spherical) rolling element bearings: theory and experiment, Journal of Sound and Vibration, vol. 215, pp.997–۱۰۱۴, ۱۹۹۸٫