در این رابطه  فقط تابعی از  است. برای این متریک مولفه های تانسور ریچی عبارتند:

با بهره گرفتن از روابط بالا و شرط ۲۸-۲ داریم:

پس متریک به صورت زیر در می آید

در این رابطه  پارامتر خمیدگی است که می تواند دارای مقادیر  و  باشد. مولفه های هموردا و پادوردا این متریک عبارتند از  :

با استفاذه از مولفه های این متریک ضرایب کریستوفل را در پیوست (الف) محاسبه کرده و با جایگذاری در معادلات ۲-۴۲ معادله های زیر به دست مآیند

این معادلات برای مقادیر مختلف k و ثابت کیهانشناسی حل شده است، تغییرات زمانی فاکتور مقیاس در شکل ها زیر رسم شده است.

شکل۲-۱:دسته بندی جواب های مدل فریدمن
مورد 
الف) اگر  در این مدل عالم به طور نامحدود انبساط می یابد البته برای یک دوره ی کوتاه عالم دارای خمیدگی است در این خمیدگی آهنگ انبساط کند می شود سپس به طور مجانبی به  نزدیک می شود و در نهایت مانند تمام مدل های انفجار بزرگ آهنگ انبساط به سمت مدل اینشتین-دسیتر یعنی  نزدیک می شود  .
ب) اگر  باشد در این حالت سرنوشت عالم به تخریب بزرگ می انجامد و عالم در هم فرو می ریزد. البته این مدل نوسانی است و بعد از هر تخریب جهان جدیدی ایجاد می شود.
پ) اگر  در این حالت عالم بدون هیچ پیچیدگی به طور نامحدود منبسط می شود و به طور مجانبی آهنگ انبساط با زمان متناسب می شود  .
مورد 
الف) اگر  باشد مانند مورد  جهان به طور نامحدود انبساط می یابد
ب)اگر  باشد جهان نوسانی است.
پ) اگر  باشد همان مدل اینشتین دوسیتر است که در آن جهان با  منبسط می شود  .
مورد 
تمام مدل های با  دارای توپولوژی بسته ای هستند. در این مورد به دلیل وجود یک مقدار حدی برای ثابت کیهانشناسی  امکان های بیشتری وجود دارد.
الف) اگر  باشد سه وجود دارد.
۱)برای  این مدل، مدل لمیتر^[۵] نام دارد و مانند  یا  به طور نامحدود انبساط می یابد. اما هنگامیکه  به  نزدیک می شود آهنگ انبساط کند می شود  .
۲)  . سه امکان در این حالت وجود دارد.
۲-۱) مدل ایستای اینشتین در این حالت جاذبه گرانشی با دافعه ی کیهانی برابر می شوند. و فاکتور مقیاس مقدار ثابتی دارد.
۲-۲) این مدل انفجار بزرگ است که با گذشت زمان به طور مجانبی به مدل ایستای اینشتین نزدیک می شود.
مدل ادینگتون-لمیتر که اگر زمان را به عقب برگردانیم به طور مجانبی به مدل ایستای اینشتین نزدیک می شود.
۲-۳)  . در این حالت دو امکان وجود دارد. یک مدل نوسانی و مدلی دیگر که در ابتدا فاز تراکمی سپس به دنبال آن یک فاز انبساطی دارد.
ب)  که یک مدل نوسانی است.
پ)  که یک مدل نوسانی است

فصل سوم

بررسی خصوصیات یک مدل گرانشی برای ثابت ساختار ریز متغییر

۳-۱ بررسی تغییرات ثابت ساختار ریز

اولین قدم برای بررسی تغییرات ثابت ساختار ریز پذیرش این واقعت است که الکترومغناطیس ماکسول بایستی اصلاح شود. ابتدا یک توصیف کلاسیکی برای برهمکنش الکترومغناطیسی با ماده را انتخاب می کنیم با در نظر گرفتن رابطه ثابت ساختار ریز با بار الکتریکی  می بینیم که تغییر پذیری  مستلزم تغییر پذیری بار الکتریکی است و یا برعکس. البته در یکایی که  و  ثابت باشند. گفته ی فوق به نظر می رسد که با قانون پایستگی بار و معادلات ماکسول هم خوانی نداشته باشد. اگر پایستگی بار با وجود تغییر پذیری  برقرار باشد آشکارا چیزی در تصویر پذیرفته شده ی الکترومغناطیس ماکسولی بایستی اصلاح شود. برای این کار ما نیاز به پیش فرض هایی داریم که با شیوه ای منطقی در جهت اصلاح معادلات ماکسول راهنمایمان باشد. این شرایط و پیش فرض ها بایستی مدلی مستقل از چارچوب برای تغییر پذیری  ارائه دهد. به طوریکه اصول و قوانین فیزیکی پذیرفته شده محترم شمرده شوند. این پیش فرض ها عبارتند از
برای ثابت  الکترومغناطیسی و جفت شدگی پتانسیل برداری با ماده کمینه است. این فرض براساس اصل همخوانی است. این فرض تضمین می کند در صورت ناچیز بودن جفت شدگی معادلات دینامیکی نظریه به شکل اصلی و پذیرفته شده ی قبلی تبدیل شوند.
تغییر  نتیجه ی دینامیک است. اگر  تغییر کند تغییرات آن تحت نفوذ ماده ی بار دار است و ماده ی باردار نیز به نوبه ی خود تحت نفوذ تغییرات  است. فقط دینامیک  می تواند این ویژگی مهم را نشان دهد.
دینامیک الکترومغناطیس  از یک کنش ناوردا به دست می آید.
کنش دارای ناوردایی پیمانه ای موضعی است. اهمیت اصل پیمانه ای در فیزیک اقرار آمیز نیست به کمک این اصل پیمانه ای است که تصویر کاملی از بر همکنش های میکروسکوپ وجود دارد. اگر این اصل را در نظر نگیریم بایستی روش نامعقولی برای اصلاح معادلات ماکسول اتخاذ کنیم.
الکترومغاطیس علّی است و هیچ آزمایشی برای نقض علّی بودن آن وجود ندارد.
کنش الکترومغاطیسی دارای ناوردایی معکوس زمان است.
کمترین طولی که می تواند وارد نظریه ی فیزیکی شود طول پلانک-ویلر است که به صورت  است. برای طول های کمتر میدان های الکتریکی و مغناطیسی هموار نیستند و ذرات در سیاه چاله هایی که خود ایجاد می کنند به دام می افتند.
گرانش به کمک متریک فضا زمانی که معادلات اینشتین را بر آورد می کند توصیف می شود. اهمیت توصیف هندسی گرانش امروزه به اندازه ی کافی روشن است. معادلات اینشتین نمونه ای از دینامیک متریک است که آزمایش های زیادی را به چالش کشیده است.
یکاهای طول، زمان و جرم را طوری انتخاب می کنیم که  و  ثابت باشند. از آنجایی که تغییر پذیری  به این معنی است که بار نقطه ای  به یک نقطه از فضا-زمان وابسته می شود. و انتظار داریم بار تمام گونه های ذرات باردار(الکترون پروتون…) به یک شیوه ای تغییر کند. زیرا اگر تعییر بار الکترون با پروتون متفاوت باشد در این صورت اتم خنثی نمی توانست وجود داشته باشد. با این فرضیات بار هر ذره را به صورت زیر در نظرمی گیریم  :

در این رابطه e بار الکتریکی الکترون یا پرتون که با تغییر میدان نرده ای و بدون بعد  تغییر می کند.  مقدار کنونی بار الکتریکی است. میدان  بایستی تحت تبدیل  ناوردا باشد  .
از طرف دیگر بار ذرات جمع روی تمام بار کنونی ذرات  است. بنابراین این جمع از جمع بار ذرات  که با پتانسل  در کنش  جفت می شود متمایز است. پس قانون پایستگی بار با فرض ما سازگار است. به دلیل وجود الکترون یک پتانسیل الکتریکی و یک پتانسیل مغناطیسی ایجاد می شود که با میدان نرده ای جفت می شود که این جفت شدگی به صورت  می باشد. اگر  یک پتانسل نرده ای باشد طبق تبدیلات پیمانه ای می توان نوشت  :