مقدمه‌ای بر کنترل غیرخطی

مقدمه‌ای بر کنترل غیرخطی

مقدمه

در دنیای واقعی بسیاری از سیستم­های فیزیکی غیرخطی هستند و یک سیستم کنترل باید بتواند بر این خاصیت غیرخطی غلبه کند.
دلایل استفاده از کنترل کننده های غیرخطی عبارت است از :

• • تعدیل سیستمهای کنترل موجود

بعضی از سیستمهای کنترل خطی براین اساس طراحی شده اند که تغییرات ورودی حول نقطه کار بسیار کوچک است. اما در عمل چون سیستم ذاتاً غیرخطی عمل می کند و امکان دارد تغییرات ورودی حول نقطۀ کار بزرگ باشد لذا احتمال ناپایداری کنترل کننده خطی سیستم بسیار زیاد است.

• • آنالیز عوامل غیرخطی شدید

در بعضی از سیستمهای کنترل عوامل غیرخطی وجود دارد که بواسطه طبیعت غیرپیوسته آنها امکان هیچ گونه تقریب خطی وجود ندارد. این عوامل غیرخطی شدید معمولاً شامل یکی از موارد اصطکاک کولمبی، اشباع، ناحیه مرده، backlash و هیسترزیس می باشد.

• • وارد نمودن عدم قطعیت های مدل در طراحی

در طراحی سیستمهای کنترل خطی، لازم است که فرض کنیم پارامترهای مدل سیستم به گونه ای معقول شناخته شده هستند. اما خیلی از مسائل کنترلی در مدل پارامتریک سیستم دارای یک سری عدم قطعیت هستند.

• • سادگی در طراحی

در بسیاری از مواقع، یک کنترل کننده غیرخطی که خوب طراحی شده بود میتواند نسبت به کنترل کننده خطی نظیرش بسیار ساده تر نیز باشد.
معمولاً عوامل غیرخطی به دو دسته ذاتی و قراردادی تقسیم بندی می شوند.
عوامل ذاتی آن دسته از عوامل هستند که به طور طبیعی جزء سیستم می باشند و اصطلاحاً به طور سخت افزاری در ذات سیستم واقع شده اند همچون اصطکاک کولمبی بین دو سطح، هیسترزیس، اشباع و backlash. عوامل غیرخطی قراردادی به طور مصنوعی توسط طراح به سیستم اعمال می گردد. قوانین کنترل غیرخطی قراردادی، همچون قوانین کنترل تطبیقی و قوانین کنترل بهینه Bang-Bang جزء دسته مواردی هستند که به سیستم کنترل اعمال می‌گردند تا عملکرد سیستم را بهبود بخشد [۳۲].

سیستم غیرخطی

سیستمی که اصل جمع آثار در مورد آن صادق نباشد، سیستم غیرخطی نامیده می‌شود و معمولاً به صورت زیر نمایش داده می‌شود.
که در رابطۀ فوق:
بردار کنترل ورودی، تابع بردار غیرخطی، بردار حالت، و n تعداد حالات یا مرتبۀ سیستم است.

تئوری پایداری لیاپانوف

در بین خواص مختلف سیستم‌های کنترل، اولین و مهم‌ترین آن‌ ها، مسئله پایداری می‌باشد.
در هر سیستم کنترل چه خطی و چه غیرخطی، بررسی مسئله پایداری بسیار حائز اهمیت بوده و بایستی به دقت مورد مطالعه قرار گیرد.
با این تفاوت عمده که در مورد سیستم‌های خطی، پایداری برای کل سیستم تعریف می شود و در سیستم‌های غیرخطی، پایداری نقطه تعادل مورد بررسی قرار می‌گیرد و در ضمن این امکان وجود دارد که سیستمی غیرخطی بازاء شرط اولیه‌ای پایدار و بازاء ورودی خاصی ناپایدار باشد.
هدف اصلی از این بخش، ارائه تئوری پایداری لیاپانوف و کاربرد آن در آنالیز و طراحی سیستم‌های غیرخطی می باشد.
قبل از پرداختن به تعاریف پایداری برحسب لیاپائوف مجبوریم به چند تعریف بپردازیم:

سیستم وابسته به زمان^[۸]

سیستم را وابسته به زمان گویند، اگر تابع f به زمان وابسته باشد.
طبیعت متغیر با زمان بودن سیستم‌های کنترل یا به ذات پروسه سیستم مربوط می باشد و یا به قانون کنترلی سیستم.
یک پروسه متغیر با زمان همراه با دینامیک را در نظر بگیرید. اگر کنترل کننده این سیستم به زمان وابسته باشد مثلاً آنگاه سیستم f متغیر با زمان نامیده می‌شود.

تفاوت اصلی بین سیستمهای متغیر با زمان و نامتغیر با زمان

مسیر حالت در سیستم‌های نامتغیر با زمان مستقل از زمان اولیه می باشد با آنکه در سیستم‌های متغیر با زمان اصلاً اینطور نیست. اختلاف فوق ما را ملزم می‌کند که در تعریف مفهوم پایداری برای سیستم‌های متغیر با زمان، زمان اولیه مطلقاً تاثیر گذار است و به همین دلیل آنالیز سیستم‌های متغیر بازمان بسیار پیچیده تر از سیستم‌های نامتغیر با زمان است.

مفهوم پایداری به بیان لیاپانوف

حالت تعادل x=0 را پایدار گوییم اگر برای هر ، وجود داشته باشد به نحوی که اگر، آنگاه برای تمام زمان‌های داشته باشیم . در غیر این صورت سیستم را به بیان لیاپانوف ناپایدار گویند.
تعریف پایداری فوق که بنام پایداری براساس مفهوم لیاپانوف نیز نامیده می‌شود به این معنی است که برای یک سیستم پایدار که شروع کار سیستم بسیار نزدیک به مبداء باشد آنگاه مسیر حالت سیستم نیز به مبداء بسیار نزدیک خواهد بود. اگر بخواهیم کلاسیک‌تر صحبت کرده باشیم می‌توان گفت که تعریف فوق بیان می دارد که مبداء در یک سیستم غیر خطی پایدار است اگر مسیر حالت شروع شده از هر نقطه دلخواه نزدیک به مبدأ و با گذشت زمان از ناحیه کروی گون به شعاع R خارج نگردد.
شکل ‏۲٫۱- مفهوم پایداری لیپانوف
در این بخش مفاهیم مختلف پایداری از جمله پایداری مجانبی^[۹]، پایداری نمائی^[۱۰]، پایداری مجانبی مطلق^[۱۱] را برای سیستم های نامتغیر با زمان ارائه خواهیم داد.

تعریف پایداری مجانبی

نقطه تعادل صفر را پایدار مجانبی می گوئیم اگر اولاً پایدار باشد (در مفهوم لیاپانوف) و ثانیاً اگر بازاء هر ، کوچکتر از r باشد، آنگاه زمانی که میل می‌کند، میل کند.

تعریف پایداری نمائی

نقطه تعادل صفر را پایدار نمائی می‌گویند اگر اعداد مثبت به نحوی وجود داشته باشند که:
باید توجه داشت که پایداری نمائی الزاماً پایداری مجانبی را نتیجه می‌دهد اما عکس این مطلب صادق نیست.

تعریف پایداری مطلق

اگر پایداری مجانبی یا نمائی در یک سیستم به ازای هر شرط اولیه‌ای برقرار باشد آنگاه خواهیم گفت که نقطه تعادل به طور همه جانبه پایدار مجانبی یا نمائی است.