(‏۳‑۷)

.
.
.

مدل­های بهینه­سازی غیرخطی
اگر تابع هدف یا محدودیت­ها و یا هر دو غیرخطی باشند در این صورت مسئله بهینه­سازی غیرخطی خواهد بود. در این موارد فقط مسائل دومتغیره از طریق ترسیمی قابل حل می­باشند. اگر چه فضای جواب ممکن است دارای نقاط گوشه­ای نباشد و یا حتی جواب بهینه ممکن است در نقاط گوشه­ای قرار نداشته باشد. در چنین مواردی منحنی­های تابع هدف با مقادیر مختلف باید مورد مقایسه قرار گیرند [۱].
مدل­های بهینه­سازی چندهدفه
در مسائل چندهدفه در مدل بهینه­سازی به جای یک هدف، چندین معیار و هدف مورد نظر می­باشند. جهت تحلیل مسائل چندهدفه، روش­های تصمیم ­گیری چندمعیاره ارائه شده ­اند که در این بخش تنها به یک روش از آنها اشاره خواهد شد.
روش وزن­دهی ساده
در مسائل بهینه­سازی چندهدفه، نقطه غیرپست^[۱۴] نقطه­ای می­باشد که در مقایسه با آن نمی­ توان نقطه­ای دیگر را یافت که حداقل، مقدار یک تابع هدف را بهبود بخشیده و مقادیر توابع هدف دیگر را تغییر ندهد. در روش وزن­دهی ساده، مسئله­ چندهدفه تبدیل به یک مسئله­ تک­هدفه می­ شود. به عبارت دیگر در این روش برای پیدا کردن جواب­های غیرپست مسئله چندهدفه زیر :

(‏۳‑۸)

که در آن Z_i(x) هدف i ام، p تعداد هدف، مجموعه متغیرهای تصمیم ­گیری و F_d مجموعه جواب­های امکان­ پذیر می­باشد، می­توان مسئله تک­هدفه زیر را حل نمود:

(‏۳‑۹)

در این روش وزن توابع هدف مختلف (w_k) مثبت و غیرصفر می­باشند.
به طور کلی در مسائل چندمعیاره دو دسته معیار یعنی معیارهای مثبت و منفی وجود دارند. در مورد معیارهای مثبت، مقدار بیشتر آنها مطلوب می­باشد (مانند کیفیت) و در مورد معیارهای منفی مقدار کمتر آنها بهتر است (مانند هزینه) . از طرفی در این روش همه معیارها به یک هدف (معیار) تبدیل شده و این یک معیار حداکثر می­گردد. بنابراین معیارهای منفی را در عدد (۱-) ضرب می­نماییم تا به یک معیار مثبت تبدیل شوند.
همانطور که مشاهده می­ شود در روش وزن­دهی ساده معیار منفی وجود ندارد و همه معیارهای منفی به معیار مثبت تبدیل می­شوند و وزن نسبی معیارهای مختلف در این روش توسط تصمیم­گیرنده با توجه به اولویت نسبی این اهداف تعیین می­گردد [۱].
مدل­های حل اختلاف
در یک فرایند تصمیم ­گیری، چنانچه تعداد تصمیم­گیرندگان بیش از یک نفر باشد، تصمیم ­گیری با مشکلات همراه خواهد بود چراکه افراد مختلف اهداف، دیدگاه ­ها و اولویت­های متفاوتی دارند و تصمیم­نهایی باید به گونه ­ای باشد که کلیه این اختلاف نظرات در آن لحاظ شده باشد. چندین روش برای حل این نوع مسائل وجود دارد که به مدل­های حل اختلاف معروف می­باشند. یک روش این است که مسئله به صورت یک مدل چند هدفه، با توجه به اهداف تصمیم­گیرندگان مختلف، در نظر گرفته شود. یکی دیگر از راه­ حل­های حل اختلاف این است که نظرات تصمیم­گیرندگان با توجه به اهمیت نسبی آنها رتبه ­بندی شده و در تصمیم ­گیری نهایی مورد توجه قرار گیرد. روش سوم حل اختلاف بر پایه­ تئوری چانه­زنی می­باشد که توسط John Nash در سال ۱۹۵۴ ارائه شده است. Nash مجموعه­ مشخصی از شرایطی را که جواب­ها باید آنها را ارضا نمایند ارائه نمود و ثابت کرد که فقط یک جواب، که پاسخ مسئله­ حل اختلاف می­باشد، این شرایط را ارضا می­ کند [۱].
در این تحقیق از روش حل اختلاف حاصل­ضربی غیرمتقارن Nash در حل مناقشه استفاده شده است از اینرو در ادامه به توضیح روش حل اختلاف Nash پرداخته می­ شود.
با فرض اینکه n تصمیم­گیرنده وجود داشته باشند و X فضای تصمیم ­گیری و f_i تابع هدف یا تابع مطلوبیت تصمیم­گیرنده i ام باشد. فضای هدف به صورت زیر تعریف می­گردد:

(‏۳‑۱۰)

, i=1,…,n

همچنین فرض می­ شود که کلیه­ تصمیم­گیرندگان در بیان تابع مطلوبیت خود، یک حداقل مطلوبیت را تعیین می­نمایند که مقادیر کمتر از آن برای آن تصمیم­گیرنده به هیج وجه قابل قبول نمی ­باشد. این مقدار از تابع هدف نقطه عدم توافق نامیده می­ شود. اگر d_i نقطه عدم توافق برای تصمیم­گیرنده i ام باشد، بردار عدم توافق تصمیم­گیرندگان نامیده می­ شود. جواب مسئله باید شرایط کلی زیر را ارضا نماید:
جواب مسئله حل اختلاف به صورت تابعی از H و در نظر گرفته می­ شود .
جواب مسئله باید محدودیت­های موجود را ارضا کرده و به عبارت دیگر امکان­ پذیر باشد.
جواب مسئله باید نقطه عدم توافق کلیه تصمیم­گیرندگان را تأمین نماید.
جواب باید غیرپست باشد.
اگر دو تصمیم­گیرنده دارای نقطه­ی عدم توافق یکسان و مطلوبیت­های مشابه باشند، مقدار تابع هدف (مطلوبیت آنها) به ازای جواب نهایی مسئله­ حل اختلاف نباید متفاوت باشد.
شرط شماره ۱ نشان­دهنده این مطلب است که به تصمیم­گیرندگان بیش از منابعی که قابل دسترس است امکان تخصیص وجود ندارد. براساس شرط شماره ۲ هیچ تصمیم­گیرنده­ای نتیجه­ای را که مقدار مطلوبیت آن از حداقل مطلوبیت تعیین­شده کمتر است، نمی­پذیرد. نیاز به جواب­های غیرپست نشان می­دهد که امکان وجود جواب بهتری برای تمامی تصمیم­گیرندگان وجود ندارد.
Nash ثابت می­ کند اگر H محدب^[۱۵]، بسته و محدود^[۱۶] باشد در این صورت تنها یک جواب برای مسئله­ رفع اختلاف وجود خواهد داشت که از حل مسئله­ بهینه­سازی زیر به دست می ­آید.

(‏۳‑۱۱)