• • برای همه مقادیر ، و ، ،

• برای همه مقادیر و ، .

در این صورت، زمانی که به سمت بینهایت میل می­ کند ()، به صورت مجانبی دارای توزیع خواهد بود که در آن ،
و است.
تذکر ۲-۱
در ۱۹۹۷، Davis و Dunsmuir برای مدل رگرسیونی و با فرض اینکه مقادیر خطای یک فرایند باشد ثابت کردند که برآوردگرهای کمترین انحراف مطلق برای و پارامترهای فرایند دارای توزیع مجانبی نرمال هستند. تحت شرایطی قوی­تر، نتیجه مشابهی توسط Portnoy در سال ۱۹۹۱ برای فرآیندهای غیر ایستای وابسته^[۱۹] در حضور تنها یک رگرسور ارائه شده است.
همانگونه که دیده شد، قضیه ۲-۱ نه تنها نرمال بودن مجانبی ضرایب رگرسیونی بدست آمده از روش کمترین انحراف مطلق را بیان می­ کند بلکه تاثیر تشخیص نادرست مدل را بر توزیع مجانبی نشان می­دهد. به عبارت دیگر، تشخیص نادرست مدل، که با اریبی غیر صفر مشخص می­ شود، بر روی میانگین و ماتریس کوواریانس مجانبی تاثیر خواهد گذاشت. این در حالی است که در رگرسیون کمترین مربعات خطا، میزان اریبی تنها بر میانگین مجانبی تاثیر می­ گذارد.
با بهره گرفتن از قضیه ۲-۱ و تذکر ۲-۴ در پیوست، نتیجه زیر را می­توان بدست آورد.
نتیجه ۲-۱ (فرایند های خطی)
فرض کنید یک فرایند خطی به فرم باشد که در آن دنباله­ای از متغیرهای تصادفی مستقل و هم­توزیع با است و دنباله­ای معین و بطور مطلق جمع­پذیر است که برای برخی از مقادیر و۰,) در رابطه صدق می­ کند. در این صورت قضیه یک تحت شرایط (i) تا (iv) همچنان برقرار خواهد بود.
در حالتی خاص که در آن متغیرهای تصادفی مستقل و هم­توزیع هستند و میانه یک تابع خطی از است نتیجه زیر را می­توان از قضیه ۲-۱ بدست آورد. نتایج مشابهی توسط Bantli و Hallin (1999)، Koenker (2005، قضیه ۴-۱) و Pollard (1991) بدست آمده است.
نتیجه۲-۲ (نوفه سفید)
فرض کنید به وسیله رابطه (۲-۵) و تنها با یک رگرسور، ، تعریف شود. همچنین، برای ، را برابر با در نظر بگیرید که در آن دنباله­ای از متغیرهای تصادفی مستقل و هم­توزیع با تابع توزیع ، چگالی ، میانه صفر () و است. علاوه بر آن فرض کنید:

• به صورت پیوسته­ای در یک همسایگی از مشتق پذیر است،

• برای هر ، .

آنگاه با افزایش مقدار ()، به صورت مجانبی به توزیع میل خواهد کرد که در آن است.
مقایسه نتیجه ۲-۲ با قضیه ۲-۱ نشان می­دهد که وابستگی پیاپی خود را به طور کامل، از طریق در ماتریس کوواریانس مجانبی آشکار می­ کند. بنابراین، ارزشمند است که نگاهی دقیق­تر به این کمیت داشته باشیم. در ابتدا توجه کنید که، از آنجایی که است، خواهیم داشت:
و به طور خاص، است. اگر ها مستقل باشند، آنگاه برای ، است و، در نتیجه، برای ، خواهد بود. علاوه بر آن، چیزی بجز کوواریانس متقاطع^[۲۰] بین فرآیندهای تصادفی دودویی^[۲۱] و
نیست. به ویژه، است.
به طور کلی، برای هر ثابت و ، را به صورت:
تعریف کرده و آن را نرخ گذر از سطح توام^[۲۲] در و می­نامیم. تحت فرض اینکه دارای توزیع پیوسته در حالت یک متغیره و دو متغیره است، می­توانیم را به صورت
بازنویسی کنیم. در نتیجه، است و، بنابراین، را می­توان به صورت زیر نوشت:
به عنوان یک حالت خاص، در صورتی که برای هر ، باشد آنگاه که در آن است. توجه کنید که احتمال آن است که تعداد گذر از صفر بین زمان و تعدادی فرد باشد. کمیت را نرخ گذر از صفر تاخیری^[۲۳] برای بین بازه زمانی و می­نامیم. اگر، برای تمام مقادیر ، باشد، آنگاه است که در آن به صورت تعریف شده و آن را احتمال همه­مثبتی^[۲۴] می­نامند.
بر اساس نتایج قضیه ۲-۱، نتیجه ۲-۱ و نتیجه ۲-۲، برای برخی از مقدار و با تعریف
، می­توانیم نظریه توزیع مجانبی دوره­نگار لاپلاسی را توسعه دهیم. در ادامه، دو نوع سری زمانی با طیف پیوسته و مرکب را مورد بررسی قرار می­دهیم.
۲-۳-۲ رفتار­های مجانبی برای سری­های زمانی با طیف پیوسته
ساده­ترین سری زمانی طیف پیوسته مربوط به فرایند نوفه سفید مستقل و هم توزیع است. در اولین قضیه این بخش بر روی این نوع از سری­های زمانی تمرکز می­کنیم.
قضیه۲-۲ (نوفه سفید)
فرض کنید و به وسیله رابطه های (۲-۳) و (۲-۴) و با در نظر گرفتن تعریف شده باشد که در آن دنباله­ای از متغیرهای تصادفی مستقل و هم­توزیع با تابع توزیع و چگالی باشد، به طوری که و است. همچنین، فرض کنید در فرض (v) از نتیجه ۲-۲ صدق کند. مجموعه ­ای از مقادیر متفاوت در بازه را در نظر بگیرید (این اعداد ممکن است به نیز وابسته باشند) که در شرط زیر صدق کنند:

که در آن دنباله­ای از دلتای کرونه­کر^[۲۵] است، به طوری که و، برای ، باشد. آنگاه، زمانی که به سمت بینهایت میل می­ کند ()، به صورت مجانبی دارای توزیع خواهد بود و به صورت مجانبی دارای توزیع است که در آن، برای
، و است.
تذکر ۲-۲
فرض (vii) برای همه مقادیر متفاوت ها که به وابسته نباشند برقرار است. این رابطه برای فرکانس­های فوریه نیز برقرار است. به طور کلی، باید ها در شرایط جداسازی معینی صدق کنند تا فرض (vii) برای آنها برقرار باشد.
بر اساس قضیه ۲-۲، میانگین مجانبی برای همه ها برابر با است. برای مقایسه این رابطه با رابطه متناظر در دوره­نگار عادی، یادآوری می­کنیم که اگر نوفه دارای واریانس متناهی باشد، آنگاه به صورت مجانبی دارای توزیع است (به مرجع Brockwell and Davis (1991) مراجعه کنید) که در این صورت میانگین مجانبی برابر با خواهد بود. همانگونه که دیده می­ شود، در اینجا نقش را ایفا می­ کند. برای توزیع­های گاوسی، و برای توزیع­های دو نمایی (لاپلاس)، است.
به طور کلی، برای داشتن متناهی، نیازی به متناهی بودن مقدار واریانس نیست. به عنوان مثال، در حالتی که توزیع نوفه، کوشی با پارامتر مقیاس باشد، مقدار متناهی است. اما، توجه داشته باشید که واریانس و میانگین برابر بینهایت است. این وضعیت نمونه ­ای از مواردی است که در آن دوره­نگار لاپلاسی نسبت به دوره­نگار عادی ارجحیت دارد. دوره­نگار لاپلاسی، برای خوش­تعریف بودن توزیع مجانبی، به وجود همه گشتاورها نیاز ندارد. در عمل، این بدان معنی است که دوره­نگار لاپلاسی نسبت به حجم بالای نوسان در داده ­ها استوارتر است.
حال، به عنوان حالتی کلی­تر به بررسی فرآیندهای وابسته می­پردازیم. برای این منظور، مفهوم جدیدی از ایستایی را معرفی می­کنیم.