که و همچنین با توجه به شرط لیپشیتنر و نامساوی جنسن
بنابر تعریف و
با توجه به ۲-۳-۵، ، نتیجه می گیریم
به این دلیل که، ، پس همگرایی(۵۵) سریعتر از (۴۲) است ، بنابراین می توان از (۵۵) چشم پوشی کرد و با قرار دادن به نتیجه ی مطلوب رسید.
۴-۱-۱۵ نتیجه: اگر ، که ، آن گاه
تقریب نتیجه ی بالا ، با متناسب است و همه ی مثال های عملی استفاده شده در ارزش گذاری اختیار معاملات
این گونه هستند( مانند مدل واریانس گاما و ).[۲۶]
۴-۲ همگرایی
در بخش قبل، روش صریح – ضمنی را برای حل معادله ی بیان کردیم، در این قسمت قصد داریم همگرایی این روش تفاضل متناهی را مطالعه کنیم . در واقع همگرایی ، سازگاری ، پایداری و یکنوایی روش ارائه شده را مورد تجزیه تحلیل قرار می دهیم.
در رویکرد معمول از معادله های ، طبق تئوری هم ارزی لاکس[۸۲] (تئوری ساختاری تحلیل عددی) رابطه زیر برقرار است[۳۲]: همگرایی پایداری + سازگاری
۴-۲-۱ یکنوایی: یکی از خاصیت های مهم برای روش های عددی خاصیت یکنوایی می باشد. این خاصیت در ارزش گذاری، اصل مقایسه ای را تضمین می کند. همان طور که قبلاً ذکر شد(فصل (۳)) برقراری اصل مقایسه ای نیز برای جواب عددی، منجر به برقراری نامساوی آربیتراژ می گردد. در واقع اگر این اصل برقرار باشد یک تقریب بدون آربیتراژ برای به دست خواهیم آورد(قضیه ی ۳-۴-۱۲).
۴-۲-۲ قضیه: روش صریح- ضمنی یکنواست: اگر و شرط اولیه ی کراندار باشند ، آن گاه اثبات : عبارت (۵۲) را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:
با بهره گرفتن از تعریف و داریم
و در نتیجه
با قرار دادن
و با جایگذاری ، و در (۴-۲-۲)
در ۴-۱-۱۱ ، را منفی در نظر گرفتیم ، که از آن نتیجه می شود:
اگر باشد، تقریب مشتق مرتبه ی اول را ، در نظر می گیریم که باز هم a ، b و c نامنفی خواهند بود. در واقع برای اثبات یکنوایی (و پایداری)، نامنفی بودن ، و لازم است. بنابراین بدون از دست دادن هیچ کلیتی می توان فرض کرد که باشد. با توجه به تعریف a ، b و c داریم:
حال فرض کنیم و دو جواب مسأله ی (۵۲) با شرایط اولیه ی متناظر و باشند و همچنین فرض کنیم برای همه ی ، .
برای همه ی ، با استقراء ثابت می کنیم : اگر
فرض می کنیم برای ، و همچنین .
به دلیل این که برای ،
پس ، به طوری که
که با فرض متناقض است، بنابراین و از آن نتیجه می شود .
۴-۲-۳ پایداری: حساسیت جواب یک مسأله ی مقداراولیه با شرایط اولیه یک قضیه ی مهم در تئوری و کاربرد معادله ی دیفرانسیل است . هنگامی که یک معادله ی دیفرانسیل را برای یک مدل به کار می بریم ، در حقیقت شرایط اولیه به طور کلی نامعین است ، در عوض ممکن است بازه ی شرایط اولیه کوچک باشد. بنابراین برای ارزیابی مقدار خطا در پیشگویی مدل مهم است که بدانیم آیا جواب ها که به ازای نقطه اولیه ی نزدیک به یکدیگر هستند ، در مقادیر دیگر هم نزدیک به یکدیگر باقی می مانند. یک مسأله ی مقدار اولیه که جواب آن به تغییرات کوچک در مقدار اولیه کمی حساس است را پایدار می نامند(هنگامی که (زمان) افزایش می یابد) ، در غیر این صورت آن را ناپایدار می نامند. اگر تمام جواب های یک معادله ی دیفرانسیل پایدار باشند ، معادله را پایدار می نامند و همچنین اگر همه ی جواب ها ناپایدار باشند معادله را ناپایدار می گویند . اگر یک معادله ناپایدار باشد و در یک بازه ی طولانی از آن استفاده کنیم ، یک خطای کوچک در شرایط اولیه می تواند منجر به خطای بزرگی در ادامه شود . حال به طور دقیق به تعریف پایداری می پردازیم .
۴-۲-۴ تعریف (پایداری) : روش صریح- ضمنی پایدار است ، اگر و فقط اگر ، برای یک شرط اولیه ی کراندار ، جواب در همه ی نقاط شبکه (روی )به طور یکنواخت ، مستقل از و ، کراندار باشد:
در واقع پایداری بیان می کند که ، جواب عددی در یک نقطه ی داده شده ( یا به طور معادل ، ارزش اختیار معامله برای یک دارایی بنیادین /تاریخ داده شده) هنگامی که ، انفجار پیدا نمی کند .[۲۴]
۴-۲-۵ قضیه: اگر باشد، روش صریح- ضمنی پایدار است .
اثبات :]۲۶[ .
حال مسأله ی (۵۲) را به فرم دیگری بازنویسی خواهیم کرد .
۴-۲-۶ تعریف: مسأله ی (۵۲) را به صورت زیر تعریف می کنیم:
(۵۹)
و را جواب مسأله ی بالا روی شبکه ی می نامیم.
۴-۲-۷ تعریف: یک تابع تعریف شده روی را یک زبر جواب از مسأله ی (۵۹) گویند، هرگاه
و تابع تعریف شده روی را یک زیر جواب از مسأله ی (۵۹) است، اگر
نتیجه زیر ، اصل مقایسه ای گسسته را برای جواب و زیر جواب (که به صورت بالا تعریف شده اند) توسعه می دهد.
۴-۲-۸ لم: برای هر زبرجواب و زیر جواب از مسأله ی (۴-۲-۴)، روی شبکه ی داریم
اثبات: سه حالت را در نظر می گیریم الف)اگر باشد، با توجه به تعریف
بنابراین
ب) اگر ، با بهره گرفتن از تعریف
که نتیجه می شود:
اگر و با بهره گرفتن از خاصیت یکنوایی روش صریح- ضمنی نتیجه حاصل می شود . در واقع اگر
