.
خروجی ۱
خروجی ۲
خروجی m
شکل ۲-۱ تبدیل n ورودی به m خروجی در یک واحد تصمیم گیرنده^[۸]
۲-۳ محاسبه کارایی
همانطور که از مفهوم کارایی مشخص می شود، یک واحد تصمیم گیرنده می تواند کارایی خود را با افزایش خروجی و ثابت نگهداشتن ورودی و یا با کاهش ورودی و ثابت نگهداشتن خروجی ارتقا بخشد، و یا واحد تصمیم گیرنده ای که از چندین ورودی برای تولید خود استفاده می کند ممکن است بر اساس مقتضیات خود، گرایش به صرف کمتر از ورودی به خصوصی را داشته باشد و یا اگر خروجی متعدد می تواند تولید کند بر اساس نیاز یا استرا‍ تژی خود، خروجی به خصوصی را نسبت به سایر خروجی ها ترجیح داده و بدین طریق موجبات افزایش کارایی خود را فراهم سازد. اینها مواردی است که سنجش و مقایسه کارایی را با پیچیدگی مواجه می سازد. چنین دلایلی روش ها ی مختلف محاسبه کارایی را موجب شده است که عموماً بر اساس تابع تولید^[۹] عمل می کنند.

طبق تعریف، تابع تولید تابعی است که بیشترین ستاده ممکن را به ازای هر نهاده در یک سازمان مشخص می کند به عبارت دیگر تابع تولید نشان دهنده رابطه موجود بین منابع تولیدی مورد استفاده یک موسسه تولیدی ( ورودی ها ) و کالا ها و یا خدمات بدست آمده ( خروجی ها ) در یک زمان واحد و بدون در نظر گرفتن قیمت ها است (مهرگان،۱۳۸۷). این تابع عبارت است از مشخصه فنی رابطه ای که بین داده ها و ستاده ها در فرایند تولید وجود دارد (داگلاس،۱۳۷۲)
شکل ریاضی تابع تولید به صورت زیر است:
که Y میزان ستاده (خروجی یا محصول )،,X₂, _… X₁ میزان داده ها ( ورودی ها ) و نشانه رابطه موجود بین داده ها و ستاده ها است.
همانطور که گفته شد، تابع تولید به صورت معادله ای ریاضی بیان می شود و شکل آن، رابطه واقعی بین ورودی ها و خروجی ها را نشان می دهد، مثلاً ممکن است تولید ( ستاده / خروجی ) به صورت خطی، نمایی ( تابع کاب داگلاس^[۱۰] ) و یا هر تابع ریاضی دیگر با عوامل تولید ( نهاده / ورودی ) در ارتباط باشد. تعیین دقیق و چگونگی این وابستگی به قدرت ذاتی عوامل تولیدی ( وضعیت تکنولوژی ) بستگی دارد.
روش های تعیین تابع تولید و یا اصولاً مدل های ارزیابی کارایی به دو دسته پارامتری^[۱۱] و غیر پارامتری^[۱۲] تقسیم می شوند. در مدل های پارامتری بر اساس روابطی که گفته شد یک فرم از پیش تعیین شده برای تابع تولید در نظر گرفته می شود آنگاه مطابق با مقادیر ورودی ها و خروجی ها، پارامتر های مجهول محاسبه می شود. این در حالی است که در مدل های غیر پارامتری هیچ پیش فرضی برای شکل تابع تولید وجود ندارد و تابع تولید بر اساس وضعیت واحد های مورد سنجش، تعیین می گردد.
تعیین یک شکل از پیش تعیین شده برای تابع تولید در مدل های پارامتری یکی از مشکلات این نوع مدل هاست چرا که فرم های رایج مثل تابع کاب داگلاس و یا خطی برای همه فعالیت ها مناسب نیست و هر فعالیتی بنا بر اقتضائات خود تابع تولید خاصی را طلب می کند. همچنین استفاده از روش کمترین مربعات برای برآورد پارامترهای تولید در مدل های پارامتری نمی تواند خالی از اشکال باشد. چنین محدودیت هایی توجه به مدل های غیر پارامتری را که نیازی به تابع تولید از پیش تعیین شده ندارد، بیشتر کرده است.
بدون شک آغازگر توجه به مدل های غیر پارا متری ارزیابی کارایی، مقاله سال ۱۹۵۷ فارل است که در ادامه به آن پرداخته می شود.
از کارایی تعاریف متفاوتی مطرح شده که وجه اشتراک همه آنها ارتباط بین خروجی ها و ورودی های یک سیستم است. مثلاً گفته شده که در محاسبه کارایی، میزان خروجی واقعی با خروجی استاندارد یا خروجی مورد انتظار به ازای ورودی یکسان مقایسه می­ شود (Sumanth,1984):
کارایی = (خروجی واقعی) / (خروجی مورد انتظار یا استاندارد)
از سوی دیگر، می­توان هدف یا خروجی سازمان را ثابت در نظر گرفت و میزان منابع مصرف شده برای دست­یابی به خروجی مورد نظر را با میزان منابعی که انتظار می­رود برای دست­یابی به آن خروجی مصرف شود، مقایسه کرد (هدایت طباطبائی،۱۳۸۷) :
کارایی = (میزان منابع مصرفی مورد انتظار) / (میزان واقعی منابع مصرف شده)
برای به کاربردن تعاریف فوق، اطلاع از این موضوع که به ازای یک مقدار ورودی مشخص، مقدار خروجی مورد انتظار یا اینکه میزان منابع مصرفی مورد انتظار، برای تولید یک مقدار خروجی خاص چقدر است، ضرورت دارد. منظور از خروجی یا ورودی موردانتظار، خروجی یا ورودی در بهترین شرایط ممکن است. تابع تولید کارا^[۱۳] که در مقاله فارل (Farrel,1957) به آن اشاره شده، مفهومی است که این مهم را به عهده دارد. از نظر فارل، تابع تولید کارا تابعی است که بیان می­ کند یک واحد کارا، به ازای هر میزان ورودی، چقدر خروجی باید تولید کند. به کمک این تابع، می­توان کارایی هر واحد دلخواهی را اندازه گرفت. بدین ترتیب که اگر واحد مورد نظر، کارا باشد، پس مشخص است به ازای ورودی داده شده چقدر خروجی باید داشته باشد؛ در غیر اینصورت مقدارخروجی واقعی تولید شده توسط واحد مورد نظر با مقدار خروجی مورد انتظار ( خروجی یک واحد کارا) مقایسه می شود. نسبت این دو (نسبت مقدار واقعی به مقدار مورد انتظار خروجی) کارایی واحد مورد نظر خواهد بود. همچنین تابع تولید کارا می ­تواند به تابعی اطلاق شود که بیان کند برای تولید مثلاً یک عدد (یا یک کیلوگرم، یک متر، …) از خروجی مورد نظر، در حالت کارا به چه میزان ورودی احتیاج است.
استفاده از چنین تابعی که بدون تعیین قبلی و صرفاً بر اساس داده های واقعی واحد های تصمیم گیرنده نسبتاً کارا ( واحدهایی که نسبت به بقیه واحدهای تصمیم گیرنده بهترین شرایط را دارند) بدست می آید، پایه و اساس مدل های غیر پارامتری محاسبه کارایی را بنا نهاد.
فارل(Farrel,1957) در سال ۱۹۵۷ به کمک تابع تعریف شده تولید کارا، روشی را مطرح کرد که برای تخمین کارایی بخش کشاورزی امریکا نسبت به سایر کشورها به کار رفت. این روش برای ارزیابی کارایی واحد هایی که یک ورودی و یک خروجی دارند بسیار مناسب است.
فرمولی را که فارل برای محاسبه کارایی واحدهایی با چندین ورودی و چندین خروجی ارائه داد به شرح زیر است (مهرگان،۱۳۸۷):
کارایی
بدین معنی که اگر از بین n واحد که هر کدام m ورودی و s خروجی دارند، محاسبه کارایی واحد j ، مد نظر باشد در آن صورت (مهرگان،۱۳۸۷) :
به طوری که :
میزان ورودی iام برای واحد jام ( m…۱,۲,=i )
میزان خروجی rام برای واحد jام ( r=1,2,…,s )
وزن داده شده به خروجی rام ( قیمت خروجی rام )
وزن داده شده به ورودی iام ( هزینه ورودی iام )
سؤال مهم اینست که وزن ورودی ها () و خروجی ها () چگونه محاسبه می شود؟ شاید پاسخ، ارجاع به نظر خبرگان باشد و یا در برخی موارد بتوان از روش آنتروپی استفاده کرده؛ سپس ­ به کمک روشی مانند SAW ^[۱۴] واحدها را رتبه بندی کرد. اما اگر جنس ورودی ها و یا خروجی ها یکسان نبود مشکل جمع زدن آنها را چگونه می توان حل کرد؟ شاید گفته شود در چنین مواردی می­توان تمام ورودی­ ها و تمام خروجی­ها را بر حسب یک واحد تبدیل ، آن­گاه به مثابه یک واحد تولیدی یک ورودی – یک خروجی با آن برخورد کرد. در بسیاری از موارد، روش تبدیل تمام ورودی­ ها و خروجی­ها به یک واحد یکسان نمی­تواند بدون اشکال باشد. موارد بسیاری را هم می­توان نام برد که در نظر گرفتن یک ارزش قطعی برای ورودی­ ها یا خروجی­ها ممکن نیست یا حداقل جای سؤال داشته باشد. همچنین معمولا واحدهای تولیدی در مسیر عملکرد خود راهبردهای متفاوتی را اتخاذ می­ کنند. استراتژی های متفاوت موجب تولید بیشتر از یک نوع خروجی خاص یا گرایش به سمت مصرف کمتر از یک نوع ورودی به خصوص می شود. شاید نتوان هیچکدام از این راهبردها را بر دیگری برتری داد. در چنین مواردی، سنجش کارایی واحدها، طبق رابطه مذکور با مشکل مواجه خواهد شد.
با توجه به مشکلات فوق الذکر و از آنجایی که معمولاً واحدهای تولیدی از چندین ورودی برای
دست­یابی به چندین خروجی استفاده می­ کنند، ادعا می شود که روش ارائه شده توسط فارل توانایی کافی برای محاسبه کارایی را در چنین شرایطی دارا نیست. اما از آنجا که روش فارل و دیدگاه او آغازی بود برای حل چنین مشکلاتی، لذا ابتدا به بررسی این روش پرداخته می شود.
۲- ۴ فارل و اندازه گیری کارایی
برای ارزیابی کارایی واحدهایی حداکثر با دو ورودی - یک خروجی یا یک ورودی - دو خروجی، روش مطرح شده توسط فارل راهگشا و عاری از مشکلات فوق است. فارل بنا را بر این نهاد که، با فرض اینکه برای تولید یک خروجی، به دو نوع ورودی احتیاج است، نموداری پدید می آید که تمام ترکیب های قابل قبول از ورودی ها را برای تولید یک خروجی در یک واحد کارا نشان می دهد.
چنین نموداری که تمام ترکیبات متفاوت از ورودی ها را برای تولید یک واحد خروجی در یک شرکت کاملاً کارا ارائه می کند، نمودار تولید یکسان^[۱۵] نام دارد (Farrel,1957). از این تعریف در برخی منابع از جمله (داگلاس،۱۳۷۲) به عنوان ” منحنی تولید یکسان”^[۱۶] نام برده می شود.
مجموعه کاملی از منحنی های متساوی التولید یک موسسه تولیدی را نقشه منحنی های تولید یکسان گویند(مهرگان،۱۳۸۷). این منحنی ها همدیگر را قطع نمی کنند، نسبت به مرکز مختصات محدب هستند و شیب منفی دارند.
برمبنای همین تعریف و خصوصیات است که فارل تابع تولید کارا^[۱۷] را با منحنی تولید یکسان، یکی فرض کرده و اساس محاسبه کارایی را بر همین بحث نهاده است. این فرض بدین معناست که درشکل۲-۲، هر واحدی که با یک نقطه از منحنی تولید یکسان SS^‘ متناظر است، یک واحد کارا محسوب می شود. و به طور منطقی هیچ واحدی با هیچکدام از نقاط پایین منحنی SS^‘ متناظر نیست، چرا که این نقاط جزء مجموعه امکان تولید^[۱۸] نیستند. لذا هر واحد ناکارا با یک نقطه بالای منحنی تولید یکسان متناظر است.
ورودی دوم
خروجی
ورودی اول
خروجی
O
S
S’
واحدهای ناکارا
واحدهای کارا
شکل ۲-۲: تابع تولید کارا و واحدهای کارا و ناکارا
فارل در مقاله خود، برای یک نمونه ساده و با فرض بازده ثابت نسبت به مقیاس (در ادامه این اصطلاح تشریح می شود) به اندازه گیری کارایی یک شرکت یا واحد تصمیم گیری پرداخته است.
از نظر فارل کارایی کلی^[۱۹] شامل کارایی فنی^[۲۰] و کارایی تخصیصی یا کارایی قیمت^[۲۱] است برای اندازه ­گیری کارایی یک واحد ناکارا به روشی که او مطرح کرد شکل ۲-۲ مفروض است.