منطق فازی
منطق فازی در واقع تکامل‌یافته و عمومی شده منطق کلاسیک است. در منطق کلاسیک که منطق دوارزشی است، هر گزاره می‌تواند درست یا نادرست باشد، در حالی که منطق فازی منطق چند‌ارزشی است و ارزش درستی هر گزاره می‌تواند عددی بین صفر و یک باشد. لذا قضاوت تقریبی و غیرقطعی با به‌کارگیری منطق فازی ممکن می‌شود.
سیستم‌های فازی
سیستم‌هایی که خیلی پیچیده هستند، به قدری ضعیف تعریف و درک شده‌اند که اجازه به‌کارگیری روش‌های تحلیل ریاضی دقیق را نمی‌دهند. استفاده از تقریب و البته تحلیل موثر رفتار سیستم به طور تقریبی، یک رویکرد جدید در تحلیل سیستم‌ها است. یک سیستم فازی سیستمی است که اطلاعات ورودی آن به‌طور غیرقطعی (فازی)، پردازش‌های سیستم به طور تقریبی (فازی) و تصمیم‌گیری سیستم نیز با شرایط فازی انجام می‌شود. روش‌های مختلفی برای مدل‌سازی اطلاعات ورودی سیستم و پردازش و تبدیل آن به تصمیم وجود دارند، که یکی از آن‌ ها استفاده از قوانین فازی با ساختار (اگر- آنگاه) است. در این صورت، یک سیستم فازی مجموعه‌ای از قوانین فازی (اگر- آنگاه) است.

تصمیم‌گیری فازی
حالت عمومی شده تصمیم‌گیری کلاسیک، تصمیم‌گیری فازی است. در تصمیم‌گیری کلاسیک، تصمیم بهینه از بین تصمیم‌های ممکن در مواجهه با محدودیت‌های مساله و با هدف بهینه‌سازی تابع مطلوبیت بدست می‌آید. تابع مطلوبیت پارامترها و محدودیت‌های مساله در تصمیم‌گیری کلاسیک، قطعی فرض می‌شوند، درحالی‌که در تصمیم‌گیری فازی امکان تعریف غیرقطعی و تقریبی پارامترها، تابع مطلوبیت و محدودیت‌های مساله وجود دارد. لذا به نظر می‌رسد هنگامی‌که با توجه به کمبود دانش، تجربه یا اطلاعات نمی‌توان مساله را به‌صورت قطعی تعریف کرد، استفاده از تصمیم‌گیری فازی می‌تواند بسیار مفید باشد.
مجموعه فازی
X را مجموعه‌ی عام بگیرید. یک مجموعه فازی  در X، از جفت‌ اعضای  تشکیل می‌شود:

که در آن  تابع عضویت یا درجه عضویت در  است.
اگر فضای تابع عضویت تنها شامل اعداد صفر و یک باشد آن‌گاه مجموعه مورد نظر، یک مجموعه کلاسیک است و اگر شامل اعداد حقیقی بین صفر تا یک باشد آن‌گاه مجموعه مورد نظر یک مجموعه فازی است.
مجموعه پشتیبان یک مجموعه فازی
مجموعه پشتیبان هر مجموعه فازی، یک مجموعه کلاسیک است که زیرمجموعه‌ای از عناصر مجموعه فازی با درجه عضویت مثبت است که به صورت زیر تعریف می‌شود.

-برش در مجموعه‌های فازی
-برش در مجموعه فازی زیرمجموعه‌ای از عناصر است که درجه عضویت آن‌ ها بزرگ‌تر یا مساوی  است و به صورت  نشان داده می‌شود:

اگر در  -برش زیرمجموعه عناصر با درجه عضویت بزرگ‌تر از  تعیین شوند به آن  -برش قوی گفته می‌شود و به صورت  نشان‌داده می‌شود:

مجموعه‌های بدست آمده از برش  و برش قوی  مجموعه‌هایی کلاسیک هستند.
مجموعه فازی محدب
مجموعه فازی  محدب است، اگر و تنها اگر داشته باشیم:

می‌توان نشان داد که مجموعه فازی  محدب است اگر و تنها اگرهمه‌ی  -برش‌های آن مجموعه محدب باشند.
ارتفاع یک مجموعه فازی
ارتفاع یک مجموعه فازی برابر حداکثر درجه عضویت عناصر آن مجموعه است. به عبارت دیگر،

مجموعه فازی نرمال
مجموعه فازی  نرمال است، اگر ارتفاع آن برابر یک باشد.
اعداد فازی
مجموعه‌های فازی که روی اعداد حقیقی تعریف می‌شوند، از اهمیت بالایی برخوردارند. تابع عضویت این نوع از مجموعه‌های فازی به صورت زیر است:

این نوع از مجموعه‌های فازی مفهوم کمّی دارند و تحت شرایط خاصی می‌توانند به عنوان اعداد فازی یا بازه‌های فازی مطرح شوند. کاربرد اعداد یا بازه‌های فازی در عمل بیان کمّی تقریب است. به عنوان مثال، اعداد نزدیک به یک عدد حقیقی یا اعدادی که حول و حوش یک بازه حقیقی هستند. اعداد و بازه‌های فازی در مدل‌سازی و تحلیل کنترل فازی، تصمیم‌گیری فازی، استدلال تقریبی، بهینه‌سازی و آمار و احتمالات تقریبی نقش بسیار مهمی ایفا می‌کنند.
تعریف- عدد فازی، یک مجموعه فازی (  ) روی اعداد حقیقی است که دست‌کم سه شرط زیر را دارا باشد:
یک مجموعه فازی نرمال باشد.
یک بازه بسته به‌ازای هر مقدار  باشد.
مجموعه پشتیبان  محدود باشد.
از آن‌جا که هر  - برش از هر عدد فازی باید یک بازه بسته باشد، پس هر عدد فازی یک مجموعه محدب است. البته، عکس این مطلب لزوماً صادق نیست.
توابع عضویت استاندارد
در ادبیات نظریه مجموعه‌های فازی، چند تابع عضویت به صورت استاندارد معرفی شده‌اند و کاربردهای بسیاری در عمل داشته‌اند که در ادامه معرفی می‌شوند.
تابع عضویت مثلثی
تابع عضویت مثلثی با سه پارامتر(a,b,c) تعریف می‌شود که به شرح زیر است:

شکل ۳- ۴-تابع عضویت مثلثی.
تابع عضویت ذوزنقه‌ای
تابع عضویت ذوزنقه‌ای با چهار پارامتر (a,b,c,d) به شرح زیر تعریف می‌شود:

شکل ۳- ۵- تابع عضویت ذوزنقه‌ای.
برنامه‌ریزی خطی فازی