با توجه به E ( _t) =0 و ( X_t ) = E( X_t-1 +)E
E( X_t) = E(X_t-1) + E ( _t) = E(X_t-1)
بیانگر ثابت بودن میانگین است که می تواند صفر یا عدد باشد و نیز
Var(x_t) =
که نشان می دهد واریانس x_tثابت نبوده بلکه در طول زمان افزایش داشته است این سری زمانی را نا ایستا یا گام تصادفی گویند .
روند های زمانی : روند های زمانی بعنوان گرایش یا تمایل یک سری زمانی در یک جهت است . الگویی مانند را در نظر می گیریم . , +X_t = + (۲)
با توجه به آن چند مورد را می توان تشخیص داد.
الف ( روند تصادفی : در این حالت
(۳) X_t = + X_t-1 +
با توجه به علامت مثبت یا منفی حرکت به سمت بالا یا پایین صورت می گیرد . این نوع روند را روند تصادفی گویند و ناایستایی را می توان با تفاضل گیری بر طرف نمود .
ب ( روند قطعی : در این حالت
(۴) X_t =
این نوع روند را روند قطعی گویند و ناایستایی را می توان با حذف و بر طرف نمود .
ج ) روند ترکیبی تصادفی و قطعی : در این حالت
(۵) X_t =
برای بررسی آن از آزمونهای دیکی - فولر استفاده می‌شود .

حال پس از روشن شدن مفاهیم بالا به بر رسی آزمون ریشه واحد می پردازیم .
آزمون ریشه واحد : فرایند خود بازگشت مرتبه اول زیر را در نظر می گیریم
( ۶ ) X_t =
X_t - → (۱ –
برای این که این معادله ایستا یا مانا باشد بایستی قدر مطلق ریشه آن (۱ – بزرگتر از واحد باشد . این معادله دارای یک ریشه واحد است L = بنا بر این برای ایستا بودن متغیر لازم است باشد
فرضیه های مربوط به ایستا بودن آن بصورت زیر می باشد .
نا ایستا
ایستا است
در حالتی که باشد فرضیه H₀ پذیرفته و سری زمانی یک سری فرایند گام تصادفی و نا ایستا می باشد . و اگر باشد آن را بعنوان شکل ریشه واحد و نا ایستا می شناسیم به عبارتی ریشه واحد شکل دیگری برای نشان دادن نا ایستا بودن سری زمانی است .حال اگر از طرفین معادله X_t-1 را کم کنیم معادله زیر بدست می آید که در آن ∆ عمل تفاضل گیری است است
( ۷ )
به عبارتی شکل دیگری از بیان معادله ۶ می باشد . که در آن یا است .
فرضیات مطرح شده در این حالت بصورت زیر است .
نا ایستا
ایستا است
در موارد یکه یا باشد فرضیه H₀پذیرفته و سری زمانی نا ایستا می باشد بعبارتی نا ایستایی یا شکل ریشه واحد را می توان با یا نشان داد اگر این شرایط حاکم باشد می توان نتیجه گرفت سری زمانی نا ایستا و از آزمونt برای شناسایی آن استفاده کنیم .

معادلات( ۶ )و (۷ )همان معادلات دیکی- فولر هستند که برای تشخیص ریشه واحد از آن ها استفاده می‌شود. معادلات دیکی- فولر سه حالت دارند .
معادله اول که همان معادله شماره( ۷) است
به معادله گام تصادفی خالص معروف است که با بهره گرفتن از روش OLS معادله را بر آورد و مقادیر t ها بدست می آوریم و سپس فرضیه ها را می نویسیم
نا ایستاایستا است
برای اینکه سری زمانی ایستا باشد لازم است بدست آمده منفی و کوچکتر از مقدار جدول بحرانی (t) باشد در غیر این صورت سری زمانی نا ایستا خواهد بود .
در معادله دوم جز ثابت اضافه شده است . =(۸)
در معادله سوم هم جزء ثابت و هم یک روند زمانی خطی وجود دارد .
(۹)
پارامتر های اساسی هر سه معادله می باشد و اگر باشد در این صورت دنباله دارای ریشه واحد است . برای آزمون ریشه واحد همانگونه که اشاره شد ابتدا به تخمین مدل ها با بهره گرفتن از روش OLS پرداخته و مقدار پارامتر های مربوطه را بدست می آوریم و سپس آن ها را با t مقدار بحرانی جدول دیکی - فولر مقایسه می کنیم و در مورد پذیرش یا رد فرضیه ها تصمیم می گیریم .

آزمون دیکی- فولر تعمیم یافته

اگر به جای معادله زیر
فرایند خود بازگشت مرتبه اول است از فرم کلی معادله زیر که فرایند خود بازگشت از مرتبه q می باشد استفاده می کنیم معادله زیر بدست می آید .
(۱۰)
این معادله به معادله دیکی - فولر تعمیم یافته معروف است وتفاضل گیری آن بصورت زیر می باشد.