کلاس دیویس- پرید (Dubois- prade)
(۴-۲۳)

کلاس یاگر (yager)
(۴-۲۴)

ضرب دراستیک (Drastic sum)
(۴-۲۵)
ضرب انیشین
(۴-۲۶)
ضرب جبری
(۴-۲۷)
و کاربردی ترین آنها مینمم و ضرب جبری است.
(۴-۲۸)
۴-۳- اصل توسعه و روابط فازی
۴-۳-۱- اصل توسعه
با معرفی اصل توسعه می‌توانیم عملیات مختلف مجموعه‌های فازی را تعریف کنیم.
اصل توسعه یک معادله اساسی است که اجازه می‌دهد دامنه یک تابع را از نقاطی در مجموعه مرجع U به برد مجموعه‌های فازی در مجموعه مرجع V توسعه دهیم. مشخص تر اینکه، فرض کنید  تابعی از مجموعه U به مجموعه V باشد. همچنین فرض کنید که یک مجموعه فازی A در U داده شده و ما می‌خواهیم مجموعه فازی B را در V به نحوی معین کنیم که  اگر f یک نگاشت یک به یک باشد، آنگاه داریم:

که  وارون f بوده. بدین معنی است که  اگر f یک به یک نباشد، آنگاه هنگامی که دو یا چند نقطه متمایز در U با مقادیر تعلق متفاوت در A به یک نقطه یکسان در V نگاشته شوند، ابهامی بوجود خواهد آمد [زاهدی، ۱۳۷۸]
تعریف: نگاشت  را برای ایجاد رابطه بین مجموعه فازی A بر روی مجموع مرجع U، و مجموعه B بر روی مجموعه مرجع V توسعه دهیم:

(۴-۳۰)
در حالتی که F یک نگاشت یک به یک است، رابطه قبلی را می‌توانیم به صورت ساده زیر بنویسیم:
(۴-۳۱)
علامت مجموعه تهی می‌باشد و  است.
مثال: نخست نگاشت زیرا را در نظر بگیرید.

فرض کنید A مجموعه فازی باشد که (حدودا ۴) را به صورت زیر بدست دهد:

همچنین  را تعریف می‌کنیم به طوریکه به ازای
چون f یک نگاشت یک به یک است، می‌توانیم f(A) را به صورت زیر بکار ببندیم:

چون f(A) یک مجموعه فازی متقارن با مقدار عضویت ۱ در ۱۴ است، می‌توانیم این مجموعه فازی را به صورت ( حدودا ۱۴) تعبیر کنیم.
۴-۳-۲- حاصل ضرب کارتزین فازی
تعریف : فرض کنید  عناصر  باشند. مجموعه همه عناصر  حاصل ضرب کارتزین  نامیده می‌شود و به صورت  نمایش داده می‌شوند.
تعریف: حاصل ضرب کارتزین مجموعه‌های فازی؛ فرض کنید  حاصل ضرب کارتزین مجموعه‌های مرجع  باشد همچنین فرض کنید  مجموعه‌های فازی بر روی  باشند. حاصل ضرب کارتزین مجموعه‌های فازی  می‌توان به صورت زیر تعریف کرد [۲۶]:
(۴-۳۳)
۴-۳-۳- اصل توسعه بر روی فضای حاصل ضرب کارتزین
تعریف:فرض کنید f نگاشتی از  به Y است که در  صدق کند. با توسعه تابع f،  رابطه بین حاصل ضرب کارتزین  از مجموعه‌های فازی  بر روی x و یک مجموعه فازی مثل  بر روی Y است که به صورت زیر به دست می‌آوریم [طاهری، ۱۳۷۸]:
(۴-۳۴)
که در آن  به معنی تصویر معکوسy است.
۴-۳-۴- رابطه فازی
تعریف: یک رابطه فازی، یک مجموعه فازی است که در فضای حاصل ضرب برداری مجموعه‌های قطعی  تعریف شده است. یک رابطه فازی Q در فضای  مطابق زیر تعریف می‌گردد [۲۶]:
(۴-۳۵)
مثال: فرض کنید V,U مجموعه اعداد