آن گاه برای به دست می آوریم:
بنابراین اثبات کامل است.
۴-۲-۹ تعریف(سازگاری): روش تفاضل متناهی را با معادله ی سازگار گویند ، هر گاه برای هر تابع هموار ، هنگامی که ( ،
سازگاری بدین معنی است که معادله ی گسسته ، معادله ی پیوسته را تقریب می زند ( در واقع بیان نمی کند جواب معادله ی پیوسته را تقریب می زند).[۲۴]
روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی برای هر تابع هموار، با معادله ی سازگار نمی باشد. در قضیه ی بعد سازگاری روش را در نرم یکنواخت برای کلاسی از توابع نشان خواهیم داد (در واقع نشان می دهیم روش تفاضل متناهی به طور موضعی با معادله ی سازگار است):
۴-۲-۱۰ قضیه (سازگاری در نرم یکنواخت): اگر
آن گاه برای هر و هر ،
به طوری که
اثبات : ابتدا فرض می کنیم :
در واقع باید ثابت کنیم عبارت (۶۱) توسط کراندار است و از
مستقل است و همچنین هنگامی که .
بنابراین برای اثبات تک تک مولفه ها را بررسی می کنیم. طبق خاصیت نرم یکنواخت
با توجه به این که به طور یکنواخت پیوسته است (طبق فرض) پس عبارت بالا ، هنگامی که برود ، به صفر میل می کند.
حال عبارت (بخش دیفرانسیلی )را در نظر می گیریم. با بهره گرفتن از بسط تیلور برای مرتبه ی دوم
با توجه به این که به طور یکنواخت پیوسته است(بنا بر فرض) وقتی که برود ، عبارت بالا به سمت صفر میل می کند. به طور مشابه برای داریم
برای عبارت نیز با توجه به (۴۷)
با توجه به این که است هنگامی که و ، بنابراین
با بهره گرفتن از (۶۲) ، (۶۳) ، (۶۴) و همچنین پیوستگی یکنواخت روی داریم
بخش انتگرال نیز با بهره گرفتن از تعریف به صورت زیر تخمین زده می شود:
با ترکیب (۶۵) و (۶۶) اثبات کامل می شود.
۴-۲-۱۱ همگرایی: یک رویکرد معمول برای به دست آوردن همگرایی روش های تفاضل متناهی این است که سازگاری و پایداری تحت یک سری فروض با قاعده روی جواب (همواری جواب)، همگرایی را نتیجه می دهد (تئوری لاکس). اما این رویکرد برای روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی قابل قبول نمی باشد، زیرا ممکن است جواب ها ناهموار باشند و مشتقات مراتب بالاتر موجود نباشند . برای مثال ، در مدل واریانس گاما ارزش اختیار خرید متعلق به می باشد اما در قرار ندارد [۲۴]. در اینجاست که جواب های ویسکوزیته نجات بخش ما می باشند . در واقع بارلس[۸۳] و سوگانیدیس[۸۴] [۱۲] نشان دادند که هر روش تفاضل متناهی ( برای معادلات سهموی ) که پایدار، یکنوا و به طور موضعی سازگار باشد، روی هر زیر مجموعه ی فشردهی به طور یکنواخت به یک جواب ویسکوزیته ی پیوستهی یکتا همگراست ، حتی هنگامی که جواب ها هموار نباشند. این نتیجه میتواند به توسعه داده شود. در واقع عقیده ی بارلس و سوگاندیس این است که حدهای نقطه ای را به صورت زیر نشان می دهند:
و زیر و زبر جواب ها را تعریف می کنند، سپس با بهره گرفتن از آن و اصل مقایسه ای نتیجه می گیرند:
همان طور که گفته شد، روش صریح- ضمنی، یکنوا و به طور موضعی سازگار است اما اصل مقایسه ای برای مسألهی نیاز به خاصیت پیوستگی یکنواخت دارد که ممکن است برای و تعریف شده در بالا برقرار نباشد . بنابراین نمی توان ، نتایج بارلس و سوگانیدیس را مستقیماً به کاربرد. برای این کار ما زیر و زبر جواب های پیوسته را تعریف می کنیم و از آن نامساوی های مرتبط با و را به دست خواهیم آورد .
۴-۲-۱۲ تعریف: یک تابع یک زبرجواب هموار مسألهی (۳۲) است، اگر در نامساوی های زیر صدق کند:
[۲۶].
۴-۲-۱۳ تعریف: یک تابع یک زیرجواب هموار مسألهی (۳۲) است، اگر در نامساوی های زیر صدق کند:
[۲۶].
۴-۲-۱۴ لم: اگر و به ترتیب یک زبرجواب و زیرجواب از مسأله ی (۳۲) باشند، آن گاه برای همه ی ، به طوری که
اثبات : را به گونه ای انتخاب می کنیم که و همچنین فرض می کنیم
ثابت می کنیم یک زیرجواب از مسأله ی تعریف شده در ۴-۲-۷ می باشد، برای این کار سه حالت را در نظر میگیریم:
الف)اگر ، بنابر ۴-۲-۷
ب) اگر ، بنابر ۴-۲-۷
پ) اگر و ، داریم
با توجه به قضیه ی۴-۲-۱۰، هنگامی که و ( ، عبارت بالا روی به طور یکنواخت به سمت عبارت زیر میل می کند:
بنابراین برای و به اندازه ی کافی کوچک و همچنین داریم
با بهره گرفتن از (۵۹) عبارت بالا را می توان به صورت زیر نوشت :
از (۶۸) ، (۶۹) و (۷۰) نتیجه می شود که یک زبر جواب از مسأله ی ۷-۲-۴ می باشد و همچنین با به کار بردن لم ۴-۲-۸ نتیجه می گیریم به ازای هر و :
کران پایین ، یعنی ، به طور مشابه اثبات می گردد.
۴-۲-۱۵ نتیجه: اگر و تابع های تعریف شده در (۶۷) باشند. آن گاه برای هر زیر و زبرجواب هموار و مسأله ی (۳۲) و همه ی :
