(۱۴)
نحوه تخصیص یک جهت گیری برای یک ویژگی بدین صورت است که ابتدا یک فیلتر گوسی با انحراف معیار ۱.۵ برابر انحراف معیار تابع گوسی مربوط به مقیاس ویژگی تولید می شود وسپس جهت گیری نقاط اطراف یک ویژگی با وزن دهی ای متناسب با تابع گوسی تولید شده وهمچنین اندازه تابع گرادیان در یک هیستوگرام ۳۶ قطعه ای تصویر می شود که هر قطعه هیستوگرام یک بازه ۱۰درجه ای را در بر می گیرد. بیشترین پیک در این هیستوگرام نشان دهنده جهت گیری ویژگی مربوطه است ممکن است که برای بعضی از نقاط دو پیک در هیستوگرام داشته باشیم که در این صورت ویژگی مربوطه دارای دو جهت گیری خواهد بود. این اتفاق برای حدود ۱۵ درصد نقاط ویژگی رخ می دهد ولی در کل باعث بهبود پایداری در تطابق بین نقاط ویژگی می شود. برای اینکه از دقت بیشتری برخوردار باشیم جهت گیری با یک درونیابی بین سه تا از نزدیک ترین نقاط به نقطه پیک هیستوگرام محاسبه می گردد. نتیجه نهایی برای تصویر مورد نظر در زیر آورده شده است.

اندازه برد رها ی مربوطه نشان می دهد که مربوط به کدام مقیاس هستند بنابراین بردار های طولانیتر مربوط به مقیاس ها ی بالاتر هستند. برای اینکه هر ویژگی به طور منحصر به فردی قابل شناسایی باشد یک بردار مشخصه به آن تخصیص داده می شود تا در کارهای بعدی ازجمله تطابق ویژگی مورد استفاده واقع شود شکل(۲-۱۲).
شکل (۲-۱۳ ) نحوه تعیین یر دارمشخصه برای هر ویژگی
یک تابع گوسی که انحراف معیار آن نصف طول پنجره مورد نیاز برای تخصیص بردار مشخصه است تولید می شود وسپس نقاط اطراف نقطه ویژگی با آن وزن دهی می شود وچنان که در بالانشان داده شده است پنجره حاصل به چند قسمت مساوی (در بالا چهار قسمت ) تقسیم می شود. واطلاعات هر بخش در یک هیستوگرام هشت بخشی مانند آنچه قبلا انجام شده جمع بندی می شود. وزن دهی با تابع گوسی باعث می شود که اولا بردار مشخصه نسبت به تغییر مکان پنجره مشخصه حساسیت کمتری داشته باشد وثانیا اندازه گردیان نقاط دورتر تاثیر کمتری در بردار مشخصه داشته باشند . سپس اطلاعات هر یک از این هیستوگرام ها به دنبال هم قرار م ی گیرد ومثلا در بردار مورد شکل بالا یک بردار ۳۲ تایی تشکیل می دهد البته در عمل بردار مشخصه ۱۲۸ درایه است که بهترین جواب را بدست می دهد. بنابراین تصویر به ۱۶ زیر پنجره (یک آرایه ۴۴ (تقسیم می شود واز آنجا که هر زیر پنجره یک هیستوگرام هشت قسمتی دارد بنابراین بردار مشخصه  تایی خواهد بود.
۲-۴ نسل دوم تکنیکهای واتر مارک مقاوم و منعطف در برابر تحریفات هندسی
واتر مارک تصاویر دیجیتال جایگذاری غیر قابل مشاهده داده اضافی در تصویر میزبان است
قدم اول در رویه جایگذاری واتر مارک تولید یک واتر مارک منحصر بفرد با کلید رمز است که متفاوت از بقیه باشد. معمولا یک رشته باینری شبه تصادفی یا یک تصویر باینری می باشد.
قدم دوم ، جایگذاری واتر مارک است .روش های گوناگونی از جایگذاری واتر مارک وجود دارد که در ادبیات تحقیق به آن اشاره شده است .این تکنیکها معمولا واتر مارک ها را در حوزه مکانی یا حوزه فرکانس قرار می دهند.بعنوان نتیجه روش های واتر مارک کردن پایه می تواند به دو روش تقسیم شوند.مبتنی بر حوزه مکانی و مبتنی بر حوزه فرکانس.
تکنیکهای واتر مارک اولیه بطور مستقیم واتر مارک را در تصویر جایگذاری می کردند(حوزه مکانی ) با جا دادن مقدار شدت پیکسل اصلی در تصویر .این روش های جایگذاری واتر مارک مبتنی بر حوزه مکان مقدار نسبتا زیادی از داده را می تواننند در تصویر جایگذاری کنند .هرچند که عموما در مقابل اعوجاج و تحریف تصاویر مقاوم نیستند .روش های واتر مارک اخیر مقدار پیکسل تصویر را تغییر نمی دهند.بجای آن آنها ابتدا تصویر را به حوزه فرکانسی توسط اعمال چند تبدیل معمول مانند تبدیل کسینوس گسسته (DCT) ، تبدیل فوریه گسسته (DFT) و یا تبدیل موجک گسسته بر تصویر اصلی انتقال می دهند.و سپس واتر مارک را در حوزه انتقال یافته جدید جایگذاری می کنند.تکنیکهای واتر مارک مبتنی بر حوزه فرکانس مقاومت بهتری در مقابل اعوجاج و تحریف نسبت به حوزه مکان نشان می دهند.علاوه بر آن، دو خصیصه دیگر بنامهای نامرئی بودن بیشتر و مقاومت قوی تر در برابر فشرده سازی را پیشنهاد می کنند در نتیجه آنها در روش های مدرن واتر مارک کردن بکار می روند.
در دنیای واقعی تصویر واتر مارک شده در معرض اعوجاج و تحریفهای خواسته یا ناخواسته قرار می گیرند.در نتیجه رویه آشکار سازی می بایست در یافتن و تایید صحت و اصالت واترمارک جایگذاری شده تحت اعوجاج های ممکن قوی باشد.نیرومندی واتر مارک در برابر حملات هندسی و معمول پردازش تصویر در سیستم مالکیت معنوی مهم است . بعضی از روش های پنهان سازی واتر مارک ارائه شده است .هر چند روش های گفته شده در برابر اعوجاجهای هندسی قدرتمند نیستند.از عهده اعوجاج هندسی برآمدن بسیار مشکل است زیرا تایید صحت را با ایجاد خطای همگامی بین محل واتر مارک استخراج شده و اصلی در حین فرایند آشکار سازی را نامعتبر می کند.چند رویه واتر مارک برای مقابله با اعوجاج هندسی پیشنهاد شده است .این رویه های Geo_Resilient بطور اجمالی در چهار گروه طبقه بندی می شوند.روشها مبتنی بر جستجوی فراگیر ، مبتنی بر حوزه نا متغییر ،مبتنی بر الگو، مبتنی بر ویژگی ما این تکنیکها را در چهار طبقه قرار می دهیم که بصورت اجمالی آنها را بررسی می نماییم.
تکنیکهای واتر مارک مبتنی بر جستجوی فراگیر :بطور گسترده و فراگیر واتر مارکها را در یک فضای بزرگ جستجو می کند .هزینه محاسبه ایی زیادی دارند و بنابراین نمی توان در کاربردهای واقعی از آنها استفاده نمود.
تکنیکهای واتر مارک مبتنی بر حوزه نامتغییر (ثابت) عموما یک حوزه ثابت برای چرخش تغییر مقیاس و تبدیل (RST) برای واتر مارک جایگذاری شده فراهم می کند و از همگامی تحت این اتفاقات نگهداری می کند.هر چند که به مشکلات مربوط به دقت درج واتر مارک و پیاده سازی حساس می باشد.و در مقابل برش تصویر آسیب پذیرند.تکنیکها ی واتر مارک مبتنی بر الگو ، الگو هایی را جهت شناسایی انتقالهای هندسی و کمک به انطباق واتر مارک در فرایند آشکار سازی جایگذاری می کنند.هر چند که معمولا در مقابل حملات تخمین الگو و برش ضعیف هستند.در مقابل تکنیکهای واتر مارک مبتنی بر ویژگیهای وابسته به تصویر بعنوان توصیف کننده محتویات برای ارائه نقاط مبنا ثابت جهت جایگذاری و آشکار سازی استفاده می کنند.
آنها در مقابل حملات گوناگون شامل برش تصویر و حملات تقید تصادفی^[۷۲] با مقید کردن انطباق واتر مارک توسط ویژگی های برجسته تصویر مقاوم هستند این خصوصیات ممکن است تمام تصویر یا بعضی از نواحی محلی یا نقاط ویژگی باشند.این طبقه از تکنیکهای همگامی واتر مارک نسل دوم واتر مارک شناخته می شوند.
این گروه از تکنیکهای همگامی واتر مارک که بعنوان نسل دوم واتر مارک نیز شناخته می شوند.ویژگیهای دلخواه از ثابت بودن در مقابل نویز، کوواریانس انتقالهای هندسی و محلی دارد.
نسل دوم واتر مارکینگ را می توان به سه زیر طبقه شامل ،مبتنی بر گشتاور،مبتی بر هیستوگرام و مبتنی بر نقاط ویژگی تقسیم کرد .در ادامه هر کدام از تکنیکها بررسی می شوند و روش پیشنهادی در این پایان نامه مبتنی بر ویژگی است.
۲-۴-۱ )تکنیکهای نهان نگاری مبتنی بر گشتاورتصویر
تکنیکهای واتر مارک مبتنی بر گشتاور از گشتاور برای حل مشکل ثابت بودن هندسی استفاده می کنند.بدلیل توانایی گشتاور در ارائه ویژگی های ثابت سراسری ،از آن در خیلی از کاربردها ی پردازش تصویر استفاده می شود.
در این روشها گشتاور هندسی جهت بدست آوردن ویژگی های سراسری تصویر بکار می روند.در [۲۴-۲۶] ، واتر مارک در تصویر نرمالیزه مبتنی بر گشتاور جایگداری می شود و واترمارک می تواند در برابر تبدیلات آفین^[۷۳] مقاومت کند.همچنین از گشتاور ها جهت تقویت هندسی تصویر واتر مارک شده استفاده کرده اند بدین صورت که نقاط گشتاور محاسبه می شوند و دامنه آنها بعد از چندی شدن ^[۷۴] بصورت یک آرایه از بیتها جایگذاری می شوند[۲۷-۲۸].ژانگ و همکاران^[۷۵] [۲۹]یک واتر مارک کننده کور نامتغییر هندسی که از گشتاور ثابت چپی چف^[۷۶] و تجزیه و تحلیل اجزا مستقل استفاده نماید بدین صورت که واترمارک از تصویر مستقل است و در نقاط ثابت گشتاور چپی چف قرار داده می شود،معرفی نمودند.هر چند که روش های مبتنی بر گشتاور در برابر برش تصویر آسیب پذیرند.
۲-۴-۲)تکنیکهای نهان نگاری مبتنی بر هیستوگرام
این روشها از هیستوگرام برای حل مشکلات عدم تغییر و ثابت بودن هندسی استفاده میکند.یک هیستوگرام تمامی ویژگی پیکسلهای سراسر تصویر را اندازه گیری می کند.توزیع هیستوگرام یک تصویر تقریبا در مقابل حملات هندسی ثابت هستند .بهمین دلیل بعضی ازروشهای های واتر مارک با بهره گرفتن از هیستوگرام با هدف مقاوم کردن آن معرفی شده اند.ژیانگ و همکاران^[۷۷] یک واتر مارک ثابت در فرکانسهای پایین را پیشنهاد کردند که با بهره گرفتن از شکل هیستوگرام و میانگین فیلتر گوسی بخشهای فرکانس پایین تصویر کار می کند[۳۰].
بولن و کولت^[۷۸] [۳۱]یک روش واتر مارک مقاوم مبنی بر خصوصیات هیستوگرام برای جایگذاری واتر مارک پیشنهاد دادند.یک دسته از واتر مارک ها انتخاب شدند که حضور گروه مشخصی از سطوح خاکستری پست سر هم بطور قابل ملاحظه ایی کاهش می یابد بدون اینکه کیفیت تصویر را کاهش دهد چیراییرون و همکاران ^[۷۹] [۳۲]روش ویژگی های هیستوگرام را به هیستوگرام تصادفی و رنگی اعمال کردند مبنی بر بخش بندی xyz فضای رنگی برای جایگذاری واتر مارک در تصویر رنگی. لین و همکاران^[۸۰] [۳۳]یک الگوریتم واترمارک کور مبتنی بر هیستوگرام سه بعدی رنگی جهت مقاومت در برابر حملات هندسی و عملیلات معمول پردازش تصویر ارائه کردند.محدودیت عمده این روشها در عدم مقاومت لازم در برابر انتقال محلی می باشد. بعنوان نتیجه دنگ و همکاران^[۸۱] [۳۴] یک رویه واتر مارک تصویر که مقاوم در برابر حملات هندسی با بهره گرفتن از هیستوگرام در یک محدوده مشخص برای جایگذاری واتر مارک در نواحی دایروی که مرکزشان بر نقاط ویژگی هریس –لاپلاس می باشد توسعه دادند.
۲-۴-۳)تکنیکهای نهان نگاری مبتنی بر نقاط ویژگی
در این تکنیکها از نقاط ویژگی برای شکل دادن به نواحی محلی جهت جایگذاری و هم استخراج واتر مارک استفاده می کنند. لویی آشکار ساز SIFT را معرفی کرد که بعنوان آشکار ساز نقاط ویژگی عمل می کنند .و ثابت شده که در برابر چرخش تصویر ، مقیاس بندی ،تبدیل(انتقال) تغییرات شفافیت تغییر نمی کنند و مقاوم می باشند.آشکار سازهای ویژگی بطور گسترده ایی در روش های واتر مارک برای استخراج ویژگی استفاده می شود[۱۶].برای مثال لی و همکاران[۳۵]^[۸۲] یک تصویر واتر مارک باینری را در یک SIFTچند مقیاسه مبتنی بر نقاط محلی درحوزه انتقال برای بدست آوردن ظرفیت بالای پنهان سازی تصویر و تقویت واتر مارک جایگداری کردن.سئوویو^[۸۳] [۳۶] از همگام کننده نقاط ویژگی هریس- لاپلاس برای بدست آوردن انعطاف در برابر اعوجاج و تحریفهای هندسی استفاده کردند .بویژه آنها یک واتر را در دوایر متقارن بصورتی که مرکز آنها بر هر نقطه ویژگی انتخابی باشد قرار دارند. تنگ و هنگ^[۸۴] [۳] با بهره گرفتن از تبدیل موجک کلاه مکزیکی ، نرمال سازی تصویر و استخراج نقاط ویژگی روش پیشنهادیشان را ارائه دادند.نرمال سازی تصویر روشی توسعه یافته برای تشخیص الگو می باشد. بای و همکاران ^[۸۵] [۳۷]بر اساس نقاط ویژگی هریس یک واتر مارک مقاوم ارائه نمودند. نویسندگان از تکنیک موزاییک کردن برای فرش کردن مثلثی یکتا نقاط ویژگی استخراج شده برای جایگداری و استخراج واتر مارک استفاده کردند. سلیدو و همکاران از الگوریتم SURFبرای استخراج نقاط ویژگی استفاده کردندو واتر مارک را در حوزه DFT جایگداری نمودند[۷] .
فصل سوم
روش تحقیق
در این بخش روش پیشنهادی با جزییات شرح داده می شود که شامل چگونگی تولید واتر مارک ، انتخاب نقاط جایگذاری در تصویر میزبان و جزییات فرایند جایگذاری و آشکار سازی می باشد.
۳-۱ )تولید واترمارک
انواع مختلفی از واتر مارک در ادبیات تحقیق پیشنهاد شده است که معمولا رشته باینری شبه تصادفی یا یک تصویر باینری می باشد. در بعضی از روشها علامت واتر مارک در تمامی طیف تصویر گسترده می شود و بعلت کم بودن انرژی سیگنال آشکار سازی آن مشکل است.بعضی دیگر نقاط دایروی شکل را در اطراف مرکز طیف جایگذاری می کنند ولی در این پایان نامه واتر مارکی حلقوی شکل تصادفی را درنقاط استخراجی تصویر جایگذاری می کنیم .
دلیل حلقوی شکل بودن واتر مارک اینست که نمی خواهیم که واتر مارک با نقاطی که در الگوریتم SIFT استخراج می شود تداخل داشته باشد اگر واتر مارک یک دایره توپر باشد ممکن است ویژگی نقطه استخراجی توسط الگوریتم SIFT تحت تاثیر قرارگیرد.
واتر مارک از یک ماتریس  عدد تصادفی بین ۰و۱ با میانگین صفر و واریانس یک تشکیل شده است همانطور که گفته شد هدف یک واتر مارک حلقوی می باشد بهمین دلیل یک تصویر به همان اندازه واتر مارک که حلقه ای از ۱ در آن وجود دارد و پس زمینه آن با ۰ پرشده است در نظر می گیریم سپس با ضرب تصویر تصادفی و تصویر حلقوی یک تصویر واترمارک با پس زمینه صفر که یک حلقه با مقادیر تصادفی بدست می آوریم همانطور که در شکل (۳-۱) نشان داده شده است .
شکل (۳-۱) واترمارک تولید شده
۳-۲ )محل نهان نگاری
بعد از اینکه واتر مارک ایجاد شد .قدم بعدی مشخص نمودن محل جایگذاری واتر مارک می باشد همانطور که قبلا گفته شد ، تصمیم داریم که واتر مارک را در حوزه فوریه بدلیل مقاومت آن در برابراعوجاج هندسی جایگذاری کنیم. حال سوال اینست که در کدام محل از طیف فوریه می بایست واتر مارک قرار گیرد. در روش پیشنهادی از SIFT برای پیدا نمودن این نقاط کمک میگیریم.
SIFT بطور کلی برای پیدا نمودن مشابهت ( مطابقت) بین دو تصویر از یک صحنه یا شی بکار می رود، که در این پایان نامه از آن برای پیدا نمودن نقاط مورد نظربرای جایگذاری واترمارک در حوزه DFT استفاده شده است. هرچند که این الگوریتم برای محیطهای نویزی مانند حوزه DFT طراحی نشده است ولی در یک تجربه عملی که در ابتدای پروژه انجام پدیرفت نشان داد که SIFT انطباق و کاربرد خوبی در DFT دارد .علاوه بر آن در مقابل تبدیلات مختلف تصویر مقاوم می باشد.این برای روش ما بسیار مهم است چون کارایی آشکار ساز وابستگی بالایی به اینکه الگوریتم SIFT بتواند نقطه مورد نظر را در تصویر مارک شده و مورد حمله قرار گرفته بازیابی نماید که بعد از آن بتوان وجود واتر مارک جایگذاری شده در تصویر میزبان را اثبات نمود، دارد. زیرا بازیابی واتر مارک و مقایسه با واتر مارک اصلی وابستگی به پیدا نمودن نقاطSIFT در تصویر واتر مارک شده دارد. بعلاوه مطابق تجزیه و تحلیل تجربی بدست آمده نرخ بازیابی نقاط ویژگی در مقیاس بزرگ و کوچک الگوریتم SIFT بسیار کم می باشد لذا در این پایان نامه مقیاس میانه یعنی بین ۲ تا ۱۰ را در الگوریتم پیشنهادی انتخاب شده است[۳۸].
بنابراین برای تصویر داده شده (۳-۲)، ابتدا آن را در مقیاس خاکستری برده و تبدیل فوریه آن را محاسبه می شود .سپس آنرا به دو بخش حقیقی و موهومی تقسیم وپس از آن دامنه طیف را محاسبه می شود.بعد از اینکه ضرایب دامنه طیف بدست آمد، الگوریتم SIFT به آن اعمال می شود که نقاط استخراجی بر روی دامنه تبدیل فوریه بصورت نقاط سفید مشخص شده اند. شکل (۳-۳) البته برای نمایش مناسب تصویر کمی تیره شده است .
شکل (۳-۲) تصویر میزبان
شکل (۳-۳) نقاط استخراج شده توسط الگوریتم SIFT
البته تمامی نقاط برای جاگذاری واتر مارک مناسب نیستند و می بایست نقاط نامناسب را حذف نماییم. ابتدا واتر مارک می بایست در فرکانسهای میانی حوزه فرکانس قرار گیرد ، تغییر در فرکانسهای پایین تبدیل فوریه منجر به تغییرات قابل دیدن در حوزه مکانی می شود که کیفیت دیداری تصویر را بشدت کاهش می دهد. جایگذاری در فرکانسهای بالای تبدیل فوریه به اندازه کافی در مقابل حملات مقاوم نمی باشد .چرا که اکثر اعوجاج و تحریفها گرایش به تاثیر گذاری بر فرکانسهای بالا نسبت به فرکانسهای پایین دارند .
بنابراین واتر مارک می بایست در محدوده فرکانسهای میانی اضافه شود و اگر بدقت طراحی شود می تواند در برابر اعوجاج و تحریف مقاومت کنند و همچنان نامریی باقی بماند.لذا نیاز به حذف نقاط استخراج شده در فرکانسهای پایین و بالا داریم و اینکه فقط فرکانسهای میانی را نگه داریم .شکل(۳-۴)
شکل(۳-۴ ) انتخاب فرکانس میانی در دامنه تبدیل فوریه تصویر
برای کاهش پیچیدگی و جلوگیری از بر روی هم افتادگی واتر مارک ها که ممکن است تعداد زیاد واتر مارک، استخراج نقاط SIFT را تحت تاثیر قرار می دهد در فرکانس میانی قوی ترین نقطه را برای جایگذاری واتر مارک انتخاب می کنیم. این روش باعث کم شدن پیچیدگی نسبت به زمانی که تعداد واتر مارک ها زیاد است میشود و بعلت قوی بودن نقطه در نظر گرفته شده احتمال باز یابی واتر مارک را افزایش می دهد شکل(۳-۵).
شکل( ۳-۵ ) مختصات نقاط استخراجی توسط الگوریتم SIFT (جهت نمایش بهتر تیره شده اند)
۳-۳ جایگذاری واتر مارک
بعد از مشخص نمودن محل واتر مارک ، فرایند جایگذاری شروع می شود .طرح اصلی فرایند جایگذاری واتر مارک بطور خلاصه عبارتست از: ابتدا بر تصویر میزبان داده شده تبدیل گسسته فوریه را اعمال شده .بخش حقیقی و موهومی طیف را جدا نموده و ضرایب دامنه طیف فوریه را محاسبه می شوند .سپس الگوریتم SIFT را بر ضرایب دامنه اعمال تا نقاط مورد نظرمشخص می شوند.بعد از حذف کردن نقاط فقط آن نقاطی در فرکانس میانی طیف می باشند نگه داشته می شوند و سپس قویترین نقطه استخراجی را محاسبه واز مختصات آن نقطه برای جایگذاری واتر مارک در قسمت حقیقی استفاده می شود.
بعد از آن بخش حقیقی و موهومی طیف فوریه ادغام شده و یک تبدیل معکوس فوریه انجام می پذیرد .که تصویر واتر مارک شده بدست می آید .بعلاوه PSNR مربوط به تصویر واتر مارک شده می بایست محاسبه شود که کیفیت تصویر را ارزیابی نماید.واترمارک و تصویر واتر مارک شده برای استفاده بیشتر در هنگام آشکار سازی نگهداشته می شوند .فرایند با جزییات بیشتر بعدا تجزیه و تحلیل می گردد ، نمودار کلی این فرایند در شکل(۳-۶)نشان داده است :
شکل (۳-۶ )بلاک دیاگرام فرایند جایگذاری واتر مارک
در حین جایگذاری، تصویر اصلی ابتدا به مقیاس خاکستری تبدیل می شود. سپس DFT را بر روی تصویر مقیاس خاکستری اعمال می نماییم .تبدیل گسسته فوریه، تصویر را به سینوس و کسینوس هایش تجزیه می کند بعبارت دیگر تصویر را از حوزه مکانی به حوزه فرکانس انتقال می دهد. ایده اصلی اینست که هر تابع تقریب دقیقی از مجموع نامحدودی توابع سینوس و کسینوس می باشد بطور ریاضی تبدیل دو بعدی تصویر عبارتست از :

(۱)
(۲)
در اینجا f تصویردرحوزه مکانی و F تصویر در حوزه فرکانس است .نتیجه این انتقال عدد مختلط می باشد .همچنین نمایش آن بصورت دامنه تصویر و فاز تصویر و یا از طریق بخش حقیقی تصویر و بخش موهومی آن امکان پذیر است .
بطور کلی ، الگوریتمهای پردازش تصویر فقط علاقمند به دامنه تصویر بعلت دارا بودن تمامی اطلاعات مورد نیاز درباره ساختار هندسی تصویر می باشد. بهمین دلیل الگوریتم SIFT را بر دامنه طیف فوریه اعمال می نماییم . بدلیل اینکه تصویر به مقیاس خاکستری بین ۰ و ۲۵۵ تبدیل شده است به تبدیل فوریه در شکل گسسته آن نیاز است. که منتج به DFT می شود همانطور که قبلا بیان شد، از ویژگی های بعضی از تبدیلات برای افزایش مقاومت واترمارک در مقابل حملات هندسی بکار گرفته می شود.تبدیل فوریه گسسته (DFT) این نیاز را برای الگوریتمهای نهان نگاری تامین می کند .
انتقال دایروی در حوزه مکان دامنه تبدیل فوریه را تحت تاثیر قرار نمی دهند ولی منجر به جابجایی خطی در اجزاءفاز می شود.تغییر مقیاس در حوزه مکانی منجر به مقیاس معکوس در حوزه فرکانس می شودو چرخش درحوزه مکان منجر به همان چرخش در حوزه فرکانس می گردد.
یک شیفت تصویر در حوزه مکان منجر به شیفت خطی در بخش فاز تبدیل فوریه گسسته می گردد.
(۳)
علامت معرف رابطه تبدیل بین حوزه فوریه و حوزه مکان تصویر است توجه که هر دو F(k,l) و f(x,y) توابعی پریودیک هستند که عامل انتقال منجر به این میشود که تصویر پیچیده شود و این ویژگی را انتقال دایروی نامیده می شود.
مقیاس محورها در حوزه مکان منجر به یک مقیاس معکوس در حوزه فرکانسی می شود.