روانی: تعداد ایده‌های گوناگونی که آفریده می‌شود.
انعطاف پذیری: تعداد دسته‌ه ای گوناگون ایده‌ها: تعداد دسته‌ه ای گوناگون را که استفاده شده است بشمارید، مثلاً توپ/ توپ فوتبال/ توپ‌های دیگر، می‌توانند یک دسته را تشکیل دهند.
نوآوری: تفاوت ایده‌ها در مقایسه با گزینه‌های رایج و معمولی. به نوآوری هر نقاشی نمره‌ی ۱ یا ۲ بدهید. اگر همه، یک چیز کشیده اند، مثلاً چهره، به آن نمره‌ی صفر بدهید، اگر تنها چند نفری چیزی کشیده‌اند مثلاً پیچ گوشی، نمره‌ی یک بدهید و اگر فقط یک نفر چیزی کشیده است، مثلاً پایه‌ی لامپ، نمره‌ی ۲ بدهید. نمره‌ی کل، همان میزان نوآوری است.
دقت: بیان دقیق ایده‌ها: مقدار دقتی را که صرف هر تصویر شده است، بسنجید.
تورنس دریافت که نمره‌ی بالا در نوآوری و دقت، بالاترین همبستگی را با توانایی خلاقیت دارد. او هم چنین دریافت که در این اندازه گیری ها، برخی از پاسخ‌های ابتکاری بسیار یگانه، نمره‌ی بالایی نمی‌گیرند، مانند پاسخ کودکی که همه‌ی دایره‌ها را برای شکل کندوی عسل به کار برده بود. (حاجیانی، ۱۳۸۷، ۲۳۸-۲۳۵)

۳- ۶٫ الکساندر یاکووله ویچ خین چین
خین چین، یکی از بزرگترین دانشمندان ریاضی سده‌ی بیستم در سال ۱۸۹۴ به دنیا آمد و در سال ۱۹۵۹ درگذشت. این مقاله را، خین چین در تابستان سال ۱۹۴۷ نوشت، ولی در ۱۲ سالی که از زندگی او مانده بود، آن را برای چاپ به جایی نفرستاد. به ظاهر، وجود بعضی کمبودها، او را راضی نمی‌کرد. دست نویس این مقاله را، بعد از مرگ او پیدا کردند.
موضوع مورد بررسی «ریاضیات» برخلاف دانش‌های دیگری که در دبیرستان درس داده می‌شود، به «چیزهایی» مربوط نمی‌شود که، به طور مستقیم، از جهان بیرونی- که ما را احاطه کرده است- گرفته شده باشند: موضوع ریاضیات، عبارت است از رابطه‌های کمیتی و شکل‌های فضایی، که از ویژگی‌های این «چیزها» است. این خصلت دانش ریاضی، قبل از همه، موجب دشواری‌های آموزشی برای معلمان ریاضیات شده است که معلمان سایر رشته‌های دانش، کم و بیش از آن‌ ها بی اطلاع‌اند: مشکلی که در برابر معلم ریاضیات قدعلم کرده، این است که چگونه بر تصوری که، خود به خود و به ناچار، درباره‌ی «خشکی» و خصلت صوری ریاضیات در ذهن دانش‌آموزان به وجود می‌آید و در نتیجه، آن را دور از زندگی و عمل می‌پندارند، غلبه کند. در این باره، خیلی چیزهای سودمند و با ارزش نوشته شده است و ما می‌دانیم که، معلمان خوب و آزموده، چگونه از عهده‌ی این مشکل بر می‌آیند.
ولی، این خصلت ریاضیات، موضوع دیگری را هم روشن می‌کند: در برابر معلم خوبی که می‌خواهد از آموزش ریاضیات، هدف‌های تربیتی را هم دنبال کند، وضع خاصی به وجود می‌آید. روشن است که در این باره هم، نسبت به سایر دانش ها، مسأله‌ی دشوارتری در برابر ما قرار دارد. دانشی که درباره‌ی خود اشیاء بحث نمی‌کند و تنها به بستگی‌ها و رابطه‌های بین آن‌ ها می‌پردازد، تا حد زیادی؛ به تجرید و انتزاع نیاز دارد و روشن است که این وضع، به ندرت این امکان را به وجود می‌آورد، که معلم بتواند بر شکل گیری خصلت‌ها و جهان بینی دانش‌آموز تأثیری ثمربخش بگذارد و به رفتار او نظم بدهد. به همین مناسبت است که در بررسی‌های مربوط به بنیان‌های تربیتی آموزش دبیرستانی، هیچ صحبتی از درس ریاضیات نیست و یا خیلی کم از آن صحبت می‌شود.
موردهایی، چندان زیاد، وجود دارد که کسی با آن‌ ها مخالف نیست. این موردها، به طور معمول، منجر به دو اهرم اصلی، در نقش تربیتی آموزش ریاضیات، می‌شود: از یک طرف گفته می‌شود که دقت منطقی و استواری نتیجه‌گیری‌ها، در ریاضیات، موجب می‌شود که دانش‌آموزان، به طورکلی، با تفکری منطقی بار آیند؛ و از طرف دیگر، ادعا می‌شود که آگاهی‌های مضمونی- عینی مسأله‌های ریاضی، به خاطر تنوع خود، چشم‌انداز گسترده‌ای از عددها و شکل‌ها در برابر دانش‌آموز می‌گذارد که، به طور قابل توجهی، دیدگاه‌های او را وسعت می‌بخشد، سطح کلی فرهنگ او را بالا می‌برد و، در نتیجه، زمینه را برای تربیت سیاسی و جهت‌گیری‌های انسانی و میهنی او فراهم می‌کند.
همه‌ی این‌ها بدون تردید، درست است؛ با وجود این فکر می‌کنم همه‌ی واقعیت‌ها را در بر نمی‌گیرند. قبل از همه، در اینجا، هیچ اشاره‌ای به مسأله‌های مهم تربیت اخلاقی نشده است، در حالی که، به گمان من، در درس‌های ریاضی، امکان‌های ملموس زیادی در این باره وجود دارد. سپس، تربیت منطقی اندیشه، که توجه زیادی به آن می‌شود، در بیشتر حالت‌ها، به صورتی پیش پا افتاده، سطحی و ناکافی تفسیر می‌شود و، اغلب، به مثال‌هایی استناد می‌شود که از نمونه‌های عامیانه تجاوز نمی‌کند و، بنابراین، تأثیر ناچیزی دارد. سرانجام، باید از تأثیر تربیتی داده‌های یاد کنیم که در متن مسأله‌ها وجود دارد. درست است که از این داده‌ها هم باید به نحو احسن استفاده کرد، ولی باید توجه داشت که بستگی آن‌ ها با مضمون ریاضی درس، خیلی سطحی و ظاهری است. در اینجا، خود ریاضیات و قانون‌ها و روش‌های آن، نقشی ندارند، بلکه تأثیر تربیتی به عهده‌ی داده‌هایی است که به صورتی ظاهری به ریاضیات مربوط اند. و در حاشیه‌ی «متن اصلی» مسأله‌ها قرار دارند و می‌توان آن‌ ها را با داده‌های مشابه و دلخواه دیگری عوض کرد، بدون این که هیچ گونه تغییری در مضمون ریاضی مسأله به وجود آید. بنابراین، این اهرم تأثیر تربیتی، اگرچه واقعی و مهم است، نمی‌تواند به طور مستقیم به دانش ریاضی دبیرستانی مربوط باشد.
با توجه به این نکته‌ها، روشن می‌شود که آن چه تاکنون در باره‌ی ارزش تربیتی درس‌های ریاضیات مورد مطالعه قرار گرفته است، بسیار نارسا و ناکافی است. هدف این مقاله این است که درباره‌ی این مسأله بیشتر بحث و، تا حد امکان، آن را روشن‌تر کند. تلاش من این است، به نکته‌هایی بپردازم که درباره‌ی تأثیر تربیتی درس‌های ریاضی وجود دارند و، تاکنون، یا درباره‌ی آن‌ ها هیچ توجهی نشده و یا خیلی سطحی مورد توجه قرار گرفته است. (شهریاری، ۱۳۶۴، ۹۱ - ۸۸)
۳-۶-۱٫ پرورش اندیشه
۳-۶-۱-۱٫ درستی تفکر- نقش و اهمیت ریاضیات در تربیت تفکر و انداختن آن به مسیر قانون مند و بی خطا، چنان روشن است که، به فراوانی، با این اعتقاد برخورد می‌کنیم که: منطقی کردن اندیشه، مسأله‌ی اصلی و نخست معلم ریاضیات است، به نحوی که آشنایی دانش‌آموزان با خود محتوای دانش ریاضی، در مقایسه با آن، باید در مرحله‌ی دوم قرار گیرد (که، بدون تردید، باید آن را نوعی زیاده روی زیان مند به حساب آورد). به همین دلیل است که این نقش تربیتی درس‌های ریاضی، به صورتی مبتذل درآمده است و، در این باره، حرف‌های بسیاری می‌شنویم که اغلب قالبی و تکراری است، بدون این که در باره‌ی ریشه‌های موضوع به اندازه‌ی کافی دقت شده باشد. نتیجه‌ی این وضع آن است که تمامی توجه روی تعداد محدودی موضوع‌های عادی (و گاهی بیزار کننده) متمرکز شود که، اگر چه به جای خود مهم اند، ولی ارزش فرعی و محدود دارند؛ از نوع تکیه‌ای که بر تشخیص کذایی یک قضیه از عکس آن می‌شود. و در این میان، موضوع‌هایی که ارزش کلی و واقعی خیلی بیشتری دارند، در سایه می‌مانند.
به گمان من، جنبه کلی و اساسی عملکرد تربیتی آموزش ریاضیات، که تا حد زیادی، موجب پدیدار شدن جنبه‌های دیگر این عملکرد است، همان عادت کردن دانش‌آموزان و ارزش استدلال است.
حتی در جر و بحث‌های «مورد علاقه‌ی خود» در زندگی عادی هم (که جنبه‌ی علمی دقیق ندارند)، ضمن دفاع از عقیده‌ی خود، به طور معمول به یکی دو استدلال قناعت می‌کنیم. از طرف مقابل هم، می‌تواند استدلال‌هایی از جهت رد اعتقاد ما، ارائه شود. با وجود این هیچ یک از استدلال‌های دو طرف، موجب پایان بحث نمی‌شود و هر طرف می‌کوشد، استدلال‌های تازه‌ای به نفع اعتقاد خود پیدا کند و … بحث ادامه می‌یابد.
بحث‌های علمی، درباره‌ی دانش‌هایی هم که هنوز جزو به اصطلاح «علوم پایه» به حساب نمی‌آیند، کم و بیش به همین شکل جریان دارد؛ البته، در اینجا، استدلال‌ها کامل‌تر از جر و بحث‌های روزانه است، ولی هرگز کار بحث را، طوری به پایان نمی‌رساند که جای هیچ گونه اعتراضی باقی نماند و در نتیجه، خود بحث را از میان بردارد.
ولی در ریاضیات، وضع به گونه‌ای دیگری است. در اینجا، استدلال‌هایی که خصلتی کامل نداشته باشند و نتوانند کار را، به طور مطلق، به پایان برسانند و کوچکترین امکانی برای اعتراض باقی بگذارند، بی رحمانه اشتباه به حساب می‌آیند و، به عنوان چیزی بی فایده، کنار گذاشته می‌شوند. در ریاضیات، نمی‌توان و نباید حکمی را «تا نیمه» و یا «به تقریب» ثابت کرد؛ یا استدلال کامل وجود دارد که هیچ گونه بحثی را، درباره‌ی حکم ثابت شده باقی نمی‌گذارد و یا به طور کلی استدلالی وجود ندارد.
دانش‌آموزی که ریاضیات دبیرستانی را آغاز می‌کند، برای نخستین بار در زندگی خود، با چنین توقع بالایی از «استدلال کامل» مواجه می‌شود. ابتدا حیرت می‌کند، به وحشت می‌افتد و حتی بیزار می‌شود: به نظرش می‌رسد که این، توقعی خارج از اندازه، فضل فروشانه و غیر لازم است. ولی، به تدریج و با گذشت روزها، به آن عادت می‌کند. معلم خوب، خیلی کارها باید انجام دهد تا این روند، هم سریع‌تر و هم ثمر بخش تر، به انجام برسد. او باید به شاگردان خود، انتقاد متقابل را بیاموزد: وقتی که یکی از آن‌ ها، در برابر تمامی کلاس، چیزی را ثابت و یا مسأله‌ای را حل می‌کند، همه‌ی دیگران باید با دقت در جستجوی اعتراض‌های ممکن باشند و، در ضمن بتوانند نظر خود را بی فاصله بیان کنند. دانش‌آموزی که در برابر همه‌ی اعتراض‌ها دفاع می‌کند و ناچار می‌شود همه‌ی انتقادهای دیگران را ساکت کند، ناگزیر از طعم ناشی از شادی پیروزی هم لذت می‌برد. در ضمن، به روشنی احساس می‌کند که استدلال کامل و درست، تنها سلاحی است که او را به این پیروزی می‌رساند. هر بار که این موضوع را احساس کند، به ناچار یاد می‌گیرد که به این سلاح احترام بگذارد و سعی کند آن را، همیشه همراه خود داشته باشد و به طور طبیعی نه تنها در ریاضیات، بلکه در هر بحث و مناظره‌ای بیشتر و پی گیرانه تر، به سمت استدلال کامل و درست کشیده می‌شود. و آن وقت، هر بار که با مسأله‌ای مواجه می‌شود، تلاش می‌کند تا از تمام ذخیره‌ی استدلال‌هایی که در چنین موقعیتی به کار می‌آیند، برای خلع سلاح مخالفان خود استفاده کند. این روند تربیتی، برای منطقی کردن تفکر، اهمیتی تعیین کننده دارد. به خصوص با توجه به این نکته که، دانش‌آموز عادت می‌کند، مدت‌ها در مناظره‌ها، بلکه حتی در حالت‌هایی هم که با اندیشه‌های یکسان سر و کار دارد، بی رحمانه تقاضای استدلال کامل و درست داشته باشد. ما در برابر چشمان خود تکامل این روند را در هزاران دانش‌آموز خود مشاهده می‌کنیم. این روند، بی شک، بدون دخالت ما، راه خود را باز می‌کند و به جلو می‌رود ولی این، به معنای آن نیست که ما حق داریم آن را به صورت جریانی خود به خودی رها کنیم: حکومت ما، کارهای زیادی برای سریع‌تر و کامل‌تر کردن این روند انجام داده است و در جهت استحکام و غنای آن، موفقیت‌هایی به دست آورده است؛ ولی ما هم می‌توانیم و باید در این جریان نقشی داشته باشیم. این پرسش که، چه روش‌هایی می‌تواند ثمربخش‌تر باشد و ما را بهتر به هدف برساند، یک مسأله‌ی آموزشی است و ما نمی‌توانیم آن را در این جا، به تفصیل، مورد بررسی قرار دهیم.
اصل کلی مبارزه به خاطر استدلال کامل و درست، که در جریان رشد فکری دانش‌آموز به دست می‌آید، صورت‌های گوناگونی دارد که از مهمترین آنها، در این جا یاد می‌کنیم.
۳-۶-۱-۱-۱٫ مبارزه علیه تعمیم‌های غیر قانونی- طبیعی دان، متوجه‌ی وجود خصوصیتی (علامتی) در تعدادی از یک نوع خاص می‌شود، با آسودگی خاطر و با وجدان علمی اعلام می‌کند که این نشانه، برای تمامی نوع مورد مطالعه، عمومی است و کسی هم، او را سرزنش نمی‌کند . این گونه استنتاج‌های استقرایی، یکی از اساسی‌ترین ‌محورهای روش شناسی در دانش‌های طبیعی است: البته، در این دانش‌ها هم تفکر نظری تطبیقی و ادراکی ممکن و لازم است، ولی همیشه مشاهده و تجربه روی نمونه‌های جداگانه موضوع مورد آزمایش، چه به عنوان آغاز کار و چه برای تحقیق نهایی درباره‌ی هر گونه نتیجه گیری، نقش عمده و تعیین کننده را به عهده دارد.
در ریاضیات، وضع به طور اساسی، به گونه‌ی دیگری است. اگر تحقیق کنیم که چند ده (یا حتی چند ملیون) مثلثی که به دلخواه انتخاب کرده ایم، دارای فلان ویژگی هستند باز هم حق نداریم این ویژگی را متعلق به همه‌ی مثلث‌ها بدانیم. این گونه نتیجه‌گیری ها، به طور کامل، پایه گذاری نشده‌اند و، در دانش ریاضی، هر چیزی را که به طور کامل پایه گذاری نشده باشد به طور مطلق بی اساس می‌دانند. تنها اثبات کلی و کامل می‌تواند این اطمینان را به ما بدهد که نشانه‌ی مفروض، به واقع یکی از ویژگی‌های هر مثلثی است. دانش‌آموز از این اعتقاد سخت، نسبت به تعمیم‌های بی پایه‌ای که در ریاضیات با آن‌ ها مواجه می‌شود، چه چیزی می‌تواند و باید بیاموزد؟ البته، او نباید تلاش کند که چنین توقعی را در دیگر دانش‌ها و به خصوص در موقعیت‌های عملی زندگی داشته باشد. توقع کامل مطلق استدلال قیاسی، خاص ریاضیات است و در باره‌ی دانش‌های طبیعی و زندگی عملی، به هیچ وجه قابل اجرا نیست. ولی عادت به دقت انتقادی، برای هرگونه تعمیمی ضرورت دارد. باید با این درک به طور کامل خو گرفت که اگر حکمی در خیلی حالت‌ها برقرار است، به هیچ وجه به معنای آن نیست که در همه‌ی حالت‌ها درست باشد و آن چه بر اساس مشاهده‌ها و تجربه‌های محدودی (ولو خیلی زیاد) به صورت قانون مند به دست آمده است، باز دوباره و دوباره مورد تحقیق قرار گیرد؛ و این، که یکی از مهمترین عادت‌های روش شناسی است و وجود آن برای هر گونه فعالیت علمی و عملی لازم است، تا حد زیادی، همراه با رشد فرهنگ ریاضی دانش‌آموز رشد می‌کند و استحکام می‌پذیرد.
این جریانی است که ما در زندگی معلمی خود، همیشه ناظر آن هستیم.
۳-۶-۱-۱-۲٫ مبارزه علیه شبیه سازی‌های بی‌پایه- نتیجه‌گیری از راه شباهت، چه در دانش‌های تجربی و چه در زندگی عادی، روشی معمولی و قانونی، برای کشف قانون مندی‌های تازه است. اگر فرض کنیم، طبیعت‌شناسی متوجه شود که همه‌ی نوع‌هایی که دارای نشانه‌های A و B هستند و تا کنون به آن‌ ها برخورده اند، در ضمن دارای نشانه‌ی C هستند، آن وقت اگر نوع تازه‌ای را پیدا کنند که نشانه‌های A و B در آن وجود داشته باشد، به طور طبیعی نتیجه می‌گیرد که این نوع تازه، دارای نشانه‌ی C هم هست. اینگونه نتیجه‌گیری از راه شباهت، موقعی قانع کننده‌تر می‌شود که بجز آزمایش خالص، نوعی ملاحظه‌ی نظری هم دراین باره وجود داشته باشد که همراهی C باA وB تصادفی نیست و زمینه‌ای در خود این نشانه‌ها و یا در جای دیگری دارد (و بطور معمول هم، چنین ملاحظه نظری، وجود دارد). تنها در ریاضیات است که بر ضرورت این امر تأکید می‌شود که باید، این ملاحظه‌های نظری را، تا آخر و به طور کامل ثابت کرد. یا باید با دقت کامل ثابت کنیم که وجود نشانه‌های A و B، بی تردید، به معنای وجود نشانه‌ی C است و یا، اگر نتوانیم چنین اثباتی را به طور کامل ارائه دهیم، به معنای این است که به هیچ وجه حق نداریم از روی نشانه‌های A و B، وجود نشانه‌ی C را نتیجه بگیریم. ولی در حالت اول (یعنی وقتی، این قضیه ثابت شده است که: «از A و B، می‌توان C را نتیجه گرفت»)،کاربرد ساده این قضیه‌ی کلی را دیگر نمی‌توان «نتیجه‌گیری از راه شباهت» نامید. بنابراین می‌توان گفت که در ریاضیات، نتیجه‌گیری از راه شباهت، به طور کلی، منع شده است(و این، البته به هیچ وجه به معنای بی اعتبار کردن نتیجه گیری‌های عظیمی که از راه تجربه به دست آمده اند، نیست)، درحالی که در دانش‌هایی تجربی و فعالیت‌های عملی، نتیجه‌گیری از راه شباهت، نقشی پر افتخار دارد و یکی از عمده‌ترین ‌و اساسی‌ترین ‌روش ها، برای پیدا کردن قانونمندی‌های تازه است. به این ترتیب دوباره پرسشی دربرابر ما قرار می‌گیرد که، در این رابطه چه می‌توان کرد تا درس‌های ریاضیات، برای فرهنگ عمومی تفکر،نقشی تربیت کننده داشته باشد؟ و باز هم ناچاریم شبیه قبل پاسخ بدهیم: تربیت ریاضی ذهن و خو گرفتن به این موضوع، که نتیجه‌گیری بر اساس شباهت، تنها می‌تواند در خدمت روش‌های آزمایشی باشد و، به خودی خود، هیچ گونه نیروی استدلالی ندارد، به ناچار آدمی را وا می‌دارد تا در همه‌ی زمینه‌های دیگر اندیشه هم، با احتیاط بیشتر نسبت به این نوع استنباط‌ها روبرو شود و به خاطر بیاورد که، در هیچ حالتی، نمی‌شود بدون دقت کافی و بدون پیدا کردن نشانه‌های اساسی دیگری، تنها بر اساس شباهت داوری کرد. هر کدام از ما، این ویژگی تفکر ریاضی را آزمایش کرده ایم و دریافته ایم که چگونه این تأثیر، موجب بالا رفتن فرهنگ اندیشه‌ی دانش‌آموزان ما شده است. بر خورد انتقادی با نتیجه گیری‌هایی که بر اساس شباهت به دست می‌آیند، یکی از بهترین و مهمترین نشانه‌ها، برای تشخیص تفکر پخته‌ی علمی از تفکر ابتدایی و کوته نظرانه است؛ و دانش ریاضی، یکی از بهترین امکان‌ها، برای تربیت اندیشه‌ی ابتدایی و تکامل آن به سمت اندیشه‌ی علمی و دور اندیشانه است.
۳-۶-۱-۱-۳٫ مبارزه به خاطر تفکیک کامل- وقتی ریاضیدان بخواهد یک ویژگی کلی را برای همه مثلث‌ها کامل کند، گاهی ناچار می‌شود اثبات را برای هر سه حالت مثلث (وقتی که سه زاویه حاده، یا یک زاویه‌ی قائمه و یا یک زاویه منفرجه دارد)، به طو جداگانه، بیاورد. می‌دانیم که چطور تازه کاران اغلب در این باره، و به خصوص اگر داوری خود را با اساس یک تصویر گذاشته باشند، دچار اشتباه می‌شوند.برای نمونه، شکل مثلثی است با زاویه‌های حاده و داوری باید روی ساختمانی اضافی انجام گیرد که، اگر آن را با زاویه‌ی منفرجه انتخاب کرده باشیم، یا این داوری غیر ممکن می‌شود و یا نیروی استدلالی خود را از دست می‌دهد. در ریاضیات، این استدلال درست نیست؛ زیرا اساس تفکیک کامل را به هم میزند: اگر همه‌ی حالت‌های ممکن و مختلف موقعیت مورد نظر را پیش بینی نکنیم، ممکن است یکی از این حالت‌ها از میدان دید ما دور شود.
در حالت‌های معمولی وقتی که با قضاوت علمی سرو کار نداریم، خواست مربوط به تفکیک کامل، در هر گام، نقض می‌شود. وقتی در مورد موقعیت مفروضی، که حالت‌های بسیار زیادی دارد، در دو یا سه حالت به نحوی قانع شویم که حادثه‌ی A اتقاق می‌افتد، نتیجه می‌گیریم که موقعیت مفروض، در همه‌ی حالت‌های خود، با حادثه‌ی A همراه است، ولو اینکه، موقعیت مورد نظر ما را، به جز دو یا سه حالتی که بررسی کرده ایم، ده‌ها حالت دیگر هم داشته باشد و، در میان آنها، حالت‌هایی پیدا شود که، وجود حادثه‌ی A، به هیچ وجه برای آنها ضروری نباشد. در مثل می‌گوییم، دانش‌آموز ایوانف به هیچ وجه قابل اصلاح نیست، زیرا نه محبت در او اثر می‌کند و نه تهدید. در اینجا، فراموش می‌کنیم که به جز محبت یا تهدید، راه‌های دیگری هم، برای اصلاح دانش‌آموز وجود دارد، از جمله اینکه می‌توانیم، با حوصله و آرامش، برای قانع کردن او تلاش کنیم، ما در واقع، با قضاوت خود، به تفکیک کامل حالت‌های ممکن نپرداخته‌ایم و این اصل منطقی را نقض کرده ایم. اغلب به این مورد بر می‌خوریم که، برای نمونه دانش‌آموزی که درباره‌ی معادله‌ای بحث می‌کند، حالت‌هایی را در نظر می‌گیرد که ضریب‌های معادله مثبت یا منفی هستند و گمان می‌کند که، به این ترتیب، بررسی خود را درباره معادله به پایان رسانده است در حالی که فراموش کرده است که این ضریب ها، صفر هم می‌توانند باشند. در اینجا هم، تفکیک حالت ها، به طور ناقص انجام گرفته است که می‌تواند به نتیجه گیری‌های اشتباهی منجر شود.
بر خلاف دو توقعی که در بالا مطرح کردیم (مبارزه با تعمیم‌های غیر قانونی و مبارزه با شبیه سازی‌های بی پایه) توقع مربوط به تفکیک کامل، یعنی به حساب آوردن همه‌ی حالت‌های مختلف و ممکن، تنها به ریاضیات مربوط نیست و درباره‌ی هر تفکر یا داوری درستی، باید در نظر گرفته شود. هر گونه استدلالی که شامل همه‌ی حالت‌های ممکن نباشد، همیشه قابل اعتراض است، بنابراین نمی‌توان آن را کامل و بی عیب شمرد. فرماندهی که نیروهای خود را در برابر دشمن آرایش می‌دهد، باید بتواند هر گونه پاسخ دشمن را پیش بینی کند؛ نادیده گرفتن حتی یکی از حالت‌های ممکن، می‌تواند موجب فاجعه‌ای بزرگ شود. قانون‌های قضایی باید درباره‌ی تمامی حالت‌های ممکن اندیشیده باشد، در غیر این صورت، ممکن است قاضی با حالتی روبرو شود که در قانون وجود نداشته باشد و به ناچار تصمیم شخصی بگیرد.
ولی بی نقص بودن مسأله‌ی تفکیک به تمام حالت‌های ممکن در هیچ جا، به روشنی و قاطعیت ریاضیات نیست و هیچ کس، مثل یک ریاضی‌دان خوب، اشتباه ناشی از تفکیک کامل را، با این سرعت و بی‌رحمی، مورد حمله قرار نمی‌دهد. به همین دلیل است که درس‌های ریاضی باید در تربیت دانش‌آموزان و عادت دادن آن‌ ها به رعایت این مهم‌ترین ‌قانون داوری درست، نقشی جدی داشته باشد (که در واقع هم، این نقش را دارد)؛ نقش ریاضیات، در این مورد، به مراتب، بیشتر از سایر موضوع‌های درسی است.
۳-۶-۱-۱-۴٫ مبارزه به خاطر کمال و استواری طبقه‌بندی ها- طبقه‌بندی کردن، تنها کار یک دانشمند نظری نیست، بلکه اغلب کارمندان کارهای عملی هم- مثل مهندسان، پزشکان، معلمان، آمارگیران و متخصصان کشاورزی- به طبقه‌بندی نیاز دارند. بر همگان روشن است که اگر ذهن نپخته و تربیت نشده‌ای، تمایل به طبقه‌بندی داشته باشد، دچار اشتباه‌های گوناگونی می‌شود؛ عمومی‌ترین این اشتباه‌ها عبارت از خراب کردن کمال و تمامیت طبقه‌بندی و خراب کردن استواری و یگانگی آن است. خراب کردن تمامیت طبقه بندی، به این معناست که مفهوم‌هایی وجود داشته باشند که در هیچ یک از طبقه‌ها وارد نشده‌اند و یا اینکه، همه‌ی طبقه‌ها مورد توجه قرار نگرفته اند. مثال‌های ساده: دانش آموز، در برابر پرسش «چه گیاهانی را می‌شناسید؟»، پاسخ می‌دهد «علف‌ها و درختان» و بوته‌ها و گل سنگ‌ها و بسیاری نوع‌های دیگر را از یاد می‌برد؛ واحدهای نظامی را، به زمینی، دریایی و هوایی تقسیم می‌کنند (و واحدهای سررشته داری، ارتباطات و بسیاری دیگر را فراموش می‌کنند)؛ عددهای طبیعی را شامل عددهای اول و عددهای مرکب می‌دانند (و از عدد ۱ غفلت می‌کنند)؛ عددهای حقیقی از عددهای مثبت و عددهای منفی تشکیل شده‌اند (که البته، عدد صفر بلاتکلیف می‌ماند).
توقع طبقه‌بندی کامل، در ظاهر شبیه توقعی است که درباره‌ی تفکیک کامل حالت‌های مختلف مطرح کردیم، ولی در واقع از نظر مضمون، با یکدیگر فرق دارند. در آن جا صحبت از ضرورت توجه به همه‌ی موقعیت‌های ممکنی است که بوجود می‌آید، در حالی که در این جا، بحث بر سر شمردن همه‌ی گوناگونی‌های یک مفهوم است. ولی در هر دو حالت، طبقه‌بندی کامل مورد توقع ریاضیات، روشن‌تر و مطلق‌تر از سایر دانش‌ها است، و به همین مناسبت، برای تربیت این عنصر «درست اندیشیدن»، بهتر از هر جای دیگری، می‌توان از ریاضیات یاری گرفت. استواری طبقه بندی، که طبق قاعده‌ی معینی انجام گرفته باشد و نشانه‌ی شناسایی آن‌ ها مشخص باشد. این توقع، که برای درست و دقیق اندیشیدن، بی اندازه ضروری است، نه تنها در داوری‌ها و استدلال‌های عادی و زودگذر، بلکه حتی در بسیاری حالت‌های جدی هم، اغلب مورد توجه قرار نمی‌گیرد. نمونه‌های ساده‌ای از بی پایگی و نااستواری طبقه بندی‌ها را می‌آوریم: ضمن نام بردن از انواع کشتی ها، از کشتی‌های پارویی، تفریحی، بادبانی، موتوری و نظامی نام برده می‌شود؛ روشن است که، این تقسیم بندی، بر اساس نیروی محرکه‌ی کشتی آغاز می‌شود، ولی عنوان آخری، این اساس را به هم می‌زند. مثالی دیگر: انواع کفش‌ها عبارتست از کفش چرمی، کفش برزنتی، کفش لاستیکی و کفش مد روز؛ در این جا هم، عنوان آخر، اساس طبقه‌بندی را (بر پایه‌ی جنس کفش) خراب کرده است. البته، در این گونه تقسیم‌بندی‌ها، همیشه ادعای یک طبقه‌بندی استوار، وجود ندارد و، بنابراین، لزومی هم به رعایت یک مبنای واحد درباره‌ی آن نمی‌بینند (مثال، آگهی: کارخانه، چند نجار، چند گچ کار، چند زن و چند دوشیزه استخدام می‌کند). ولی هر جا که، چنین گروه بندی‌هایی، بخواهند در نقش طبقه‌بندی ظاهر شوند، نااستواری اساس آن، تمامی طرح را دچار ابهام می‌کند که می‌تواند، به نوبه‌ی خود، موجب خطاهای نظری و سردرگمی‌های عملی باشد. به همین مناسبت، هر ذهن منطقی و تربیت شده ای، نااستواری مبنای طبقه‌بندی را، کمبودی جدی برای استدلال و داوری می‌داند. و دوباره، نقش دانش ریاضی ظاهر می‌شود، در درس‌های ریاضیات است که دانش‌آموز راه طبقه‌بندی درست، کامل و استوار را می‌بیند و می‌توان خود را با آن تطبیق دهد.
من، آن جنبه‌هایی از مبارزه به خاطر رسیدن به اندیشه‌ی منطقی و استدلال کامل را نام بردم که به نظرم مهم‌تر و جدی‌تر می‌رسید. همان طور که پیشتر هم گفته ام، نمی‌توانم در این مقاله به بحث درباره‌ی روش‌های آموزشی بپردازم و مشخص کنم که معلم ریاضیات، چگونه می‌تواند دانش‌آموزان خود را، با موفقیت بیشتری، به این جنبه‌ها عادت دهد و، در نتیجه، به سمت «درست و منطقی اندیشیدن» هدایت کند. با وجود این، لازم می‌بینم یک مسأله‌ی آموزشی را که خصلتی عام دارد (و برای معلمان کارآزموده روشن است) مطرح کنم: دانش‌آموز را باید به تدریج، گام به گام و بدون هیچ فشار اضافی، با قانون‌های درست اندیشیدن (که درباره‌ی آن‌ ها سخن رفت) آشنا کرد و به آن‌ ها عادت داد؛ این درست نیست که گمان کنیم، می‌توان درس خاصی را، برای نمونه به «مبارزه با شبیه سازی‌های بی اساس» اختصاص داد؛ چنین روشی، تنها می‌تواند، به صورتی جبران‌ناپذیر، همه‌ی تأثیرهای مورد انتظار را از بین ببرد. بر عکس، باید از هرگونه بحث کلی پرهیز کرد و توجه دانش‌آموزان را به جنبه‌های منطقی و آموزنده‌ای که، در این باره، در موضوع‌های مشخص قانع کننده‌ی درس‌های ریاضی وجود دارد، جلب کرد. ضرورت استدلال‌های منطقی و کامل، به معنای این نیست که مرتب و به صورتی بیزار کننده این ضرورت را تکرار کنیم، بلکه باید در عمل و روی حالت‌های مشخص، نشان دهیم (کم و بیش هر درسی از ریاضیات، این امکان را برای ما به وجود می‌آورد) که چگونه عدم رعایت این یا آن قانون، موجب ناکامی، اشتباه و سردرگمی می‌شود. نباید به صورت تجریدی، و به طور کلی، درباره‌ی استدلال و داوری درست، بحث کرد، بلکه باید دانش‌آموز را متوجه کرد که هر کمبود یا اشتباهی که در استدلال و داوری او باشد، مواجه با پرسش و خرده گیری معلم و یا (چه بهتر) دوستان خود او می‌شود.
در این جا، در این باره صحبت نخواهم کرد که چگونه باید از درس ریاضیات، برای تشخیص یک حکم مستقیم از حکم عکس آن و بسیاری تشخیص‌های دیگر مشابه آن، استفاده کرد. از یک طرف، آن قدر در این باره نوشته شده است که من به زحمت می‌توانم چیزی به آن چه دیگران گفته اند، اضافه کنم. از طرف دیگر، با همه‌ی اهمیتی که این گونه موضوع‌ها برای درست اندیشیدن دارند، به خاطر خصلت اختصاصی خود، کمتر می‌توانند در خارج از ریاضیات، به کار آیند و، بنابراین، اهمیت آن‌ ها به اندازه‌ی جنبه‌هایی که مورد بحث قرار دادیم، نیست.
۳-۶-۱-۲٫ اسلوب تفکر- ریاضیات، به هر امتیازی که به خاطر صحت منطقی نتیجه گیری‌های خود دارد، در اسلوب و شیوه‌ی تفکر هم، با دانش‌های دیگر متفاوت است. گرچه این اسلوب، در سده‌ها، و حتی در طول ده‌ها سال، تغییر کرده است و از این به بعد هم تغییر می‌کند ولی دارای بعضی خط‌های کلی است که همیشه موجب تمایز آن از اسلوب‌های مربوط به سایر دانش‌ها بوده است.
اسلوب تفکری که در یک علم تأیید می‌شود، چیزی بیرون از آن دانش و، بنابراین، عاملی درجه دوم نیست که تنها ارزش هنری و زیبایی شناسی داشته باشد و، در نتیجه، نتواند بر تکامل این دانش تأثیری جدی بگذارد. برعکس اسلوب تفکر را، تا حد زیادی، می‌توان از روی روشنی و صراحت بستگی‌های نظری، سادگی و روشنی ساختمان‌های علمی، عینی بودن مفهوم‌ها و غیر آن باز شناخت، و همه‌ی این‌ها هم، به نوبه‌ی خود، با ثمر بخش بودن شاخه‌های دانش و آموزش علمی و، همراه با آن، با آهنگ پیشرفت دانش، بستگی کامل دارند.
بعضی از جنبه‌های اسلوب تفکر ریاضی، اهمیت عمومی و گسترده‌ای دارند. اگر چنین جنبه‌هایی از تفکر ریاضی، مورد توجه نمایندگان سایر دانش‌ها و فعالیت علمی قرار گیرد، چه برای خود آن‌ ها و چه برای شاگردان و هواداران آن‌ ها، می‌تواند خدمتی ذی قیمتی باشد. وقتی که یک ریاضیدان، اثری از یک دانشمند سرشناس را بخواند، بی اختیار و با تعجب پیش خود زمزمه می‌کند: «بلکه، او هم مثل من می‌اندیشد»، شگفتی او، بیشتر از این جا ناشی می‌شود که در شاخه‌ی دانش، اسلوبی را برای تفکر پذیرفته‌اند که خیلی کم به اسلوب ریاضی شباهت دارد.
ولی، اگر فراگیری بعضی جنبه‌های تفکر ریاضی می‌تواند در بهتر کردن شیوه‌ی اندیشه‌ای در سایر شاخه‌های دانش و با فعالیت‌های عملی مفید باشد، و وسیله‌ی نیرومند و ثمر بخشی برای اندیشه‌ی انسانی به حساب می‌آید، روشن می‌شود که چرا نباید از آموزش مغزهای جوان در استفاده‌ی از این وسیله غفلت کرد؛ باید دانش‌آموزان را، به تدریج وا داشت که ابتدا در خود ریاضیات، سپس در بیرون از آن، به این شیوه‌ی تفکر عادت کنند. برای رسیدن به این هدف باید قبل از همه، منظور خود را از این جنبه‌های تفکر ریاضی، روشن کنیم.
در پایه‌ی هر ساختمان اندیشه‌ی درستی، بدون ارتباط با موضوعی که مضمون آن را تشکیل می‌دهد، طرحی منطقی قرار دارد که، هر ذهن پخته ای، آن را به عنوان نوعی استخوان بندی منطقی، که برای موضوع مورد بررسی استوار و قانون مند است، می‌پذیرد. اسلوب تفکر هرچه باشد، این طرح منطقی باید قانون مند و بدون نقص باشد؛ در غیر این صورت، استدلال و داوری نامرغوب می‌شود و بنابراین، باید کنار گذاشته شود.
با وجود این، نقش و موقعیت این استخوان بندی منطقی در جریان اندیشه، بسیار گوناگون است و در واقع به اسلوب تفکر مربوط می‌شود. در بعضی حالت ها، طرح منطقی، با راهنمایی جنبه‌ای از تفکر معین می‌شود، به نحوی که صاحب اندیشه، همیشه این نکته را در برابر خود می‌بیند و بر طبق آن، مرحله‌های بعدی داوری را انتخاب و هدایت می‌کند. در حالت‌های دیگر برعکس، استخوان بندی منطقی خاموش می‌ماند و فکر، تا حد زیادی، بوسیله‌ی خواست‌های مضمون مشخص خود موضوع مورد بررسی هدایت می‌شود؛ در این جا نقش منطق در بازبینی بعدی ظاهر می‌شود و این بازبینی هم اغلب، به صورت طرحی کتبی یا ذهنی، در نظر گرفته می‌شود، بدون اینکه در عمل نیازی به آن باشد؛ و به این ترتیب طرح منطقی، به عنوان یک واحد کامل، در بیرون از میدان دید صاحب اندیشه باقی می‌ماند. روشن است، اسلوب‌هایی از تفکر هم وجود دارد که در حد فاصل این دو اسلوب قرار گرفته اند.
تلاش برای رسیدن به حد اعلای طرح منطقی استدلال و داوری، از ویژگی‌های ریاضیدانان است؛ ریاضیدانی که، حتی و به تصادف و به طور موقت از این طرح جدا شود به طور کلی، امکان تفکر علمی را از دست می‌دهد. این جنبه‌ی اختصاصی اسلوب تفکر ریاضی، که تا این درجه‌ی کمال در هیچ دانش دیگری وجود ندارد، ارزش و ارج بسیاری را در خود نهفته است. بدیهی است که این اسلوب، حداکثر امکان را برای حرکت درست اندیشه فراهم می‌آورد و آن را مصون از اشتباه می‌سازد؛ از طرف دیگر این اسلوب تفکر، صاحب اندیشه را وا می‌دارد تا ضمن هر تفکیک کامل، همه‌ی حالت‌های ممکن را در برابر چشمان خود داشته باشد و همه‌ی آن‌ ها را، بدون کنار گذاشتن حتی یک حالت، به حساب بیاورد (غفلت کردن از بعضی حالت ها، اغلب در اسلوب‌های دیگر تفکر دیده می‌شود). به همین مناسبت، آن چه از طریق درس‌های ریاضی در این باره به دست می‌آید، می‌تواند اهمیت فوق العاده‌ای برای بالا بردن فرهنگ عمومی تفکر دانش‌آموزان داشته باشد.
به عنوان یکی از روشن‌ترین ‌و جالب‌ترین ‌نمونه‌هایی که، در زمینه‌ی دور از ریاضیات، به صورتی کامل این اصلوب تفکر را رعایت کرده است، می‌توان از نوشته‌ی مارکس نام برد. خواننده‌ای که بعد از مطالعه‌ی نوشته‌های اقتصادی دیگر دانشمندان، کتاب «سرمایه» را باز می‌کند، از همان صفحه‌های نخست، به خاطر منطق آهنین و استوار سطرهای آن، به حیرت می‌افتد. طرح منطقی، با توقع‌های بی چون و چرایی که این طرح با خود می‌آورد نه تنها مسیر فکری نویسنده را معین می‌کند، بلکه خواننده را هم که نمی‌تواند از تأثیر خط فکری او خارج شود، به نحو قانع کننده‌ای به دنبال خود می‌کشاند. این شیوه- که برای نوشته‌های اقتصادی غیر عادی و به اسلوب ریاضی خیلی نزدیک است به طور دائم در خواننده، احساس استواری، اطمینان و اقناع کامل را بوجود می‌آورد، و در عین حال کمکی جدی برای فهم پر دوام موضوع‌های مورد بحث کتاب است.
دومین جنبه‌ای که به اسلوب ریاضی تفکر مربوط می‌شود و می‌توانیم، در این جا، از آن یاد کنیم، خصلت اختصار گویی است، تعیین و تمایل آگاهانه در جهت پیدا کردن کوتاه‌ترین ‌مسیر منطقی به سوی هدف و کنار گذاشتن همه‌ی آن چه که برای استدلال کامل و بی نقص ما، ضرورت ندارد. یک اثر ریاضی، که خوب نوشته شده باشد، به هیچ وجه وقت خواننده را تلف نمی‌کند و از هرگونه جمله پردازی پرزرق و برقی که موجب تضعیف نیروی منطقی مطلب باشد، پرهیز می‌کند؛ خصلت کامل و دقت بی اندازه در اندیشه و طرح مطلب، از جنبه‌های مسلم و جدا نشدنی اندیشه‌ی ریاضی است. این جنبه نه تنها برای ریاضیات، بلکه برای هرگونه بحث و استدلال جدی (در هر زمینه‌ای که باشد)، اهمیت بسیار دارد.
اختصارگویی و تمایل به حذف هر آن چه اضافی است، هم به خود صاحب اندیشه و هم به خوانندگان یا شنوندگان او کمک می‌کند تا اندیشه‌ی خود را، در همان جهتی که لازم است، متمرکز کنند، حواسشان به طرف موضوع فرعی پرت نشود و تماس آن‌ ها، با خط اصلی بحث قطع نشود.
نامداران دانش، حتی زمانی که می‌خواهند اندیشه‌های تازه‌ی خود را مطرح کنند، این جنبه‌ی اختصارگویی را رعایت می‌کنند. اندیشه‌ها و سخنان کوتاه بزرگترین آفرینندگان فیزیک، یعنی نیوتون و آنشتین و نیلس بُر، چه تأثیر عمیقی بر دیگران گذاشته است! به سختی می‌توان، مثالی روشن‌تر از تأثیر عمیقی که اسلوب تفکر آفرینندگان این اسلوب بر تکامل دانش گذاشته اند، پیدا کرد.
برای ریاضیات، اختصار گویی اندیشه، قانونی است انکار ناپذیر که در طول سده‌های بسیار، به رسمیت شناخته شده است. هرگونه بحث، سخن یا طرحی که مزاحم بحث اصلی باشد و یا ضرورتی نداشته باشد (ولو این که، برای شنوندگان، مطبوع و سرگرم کننده هم باشد)، با هشدار انتقادی روبرو می‌شود. به همین مناسبت، درس‌های ریاضی، بهتر از هر درس دیگری، می‌تواند عادت به اختصارگویی و حرکت مستقیم به طرف مقصد و گم نشدن در اندیشه‌های اضافی و غیر لازم را در دانش‌آموزان به وجود آورد.
سپس، باید از تقسیم بندی روشن استدلال و داوری نام برد، که یکی دیگر از خصلت‌های اسلوب تفکر ریاضی است. وقتی که برای نمونه، برای اثبات یک حکم، باید چهار حالت ممکن را در نظر بگیریم و هر یک از این حالت‌ها هم ممکن است به چند حالت جزیی‌تر تقسیم شوند، آن وقت در هر لحظه‌ای که ریاضیدان استدلال می‌کند، باید به روشنی بداند که اندیشه‌ی او در مورد کدام حالت یا حالت جزیی است و چه حالت‌ها یا حالت‌های جزیی، هنوز برای بررسی، باقی مانده اند. ریاضیدان، درباره‌ی هر تقسیمی، باید در هر لحظه به این پرسش پاسخ دهد که کدام خانواده از مفهوم‌ها را، به مفهوم‌های جزیی‌تر تقسیم کرده است. در اندیشه‌های غیر علمی عادی، اغلب به اختلاط حالت‌ها و پرش از حالتی به حالت دیگر بر می‌خوریم که موجب سردرگمی و اشتباه در استدلال و داوری می‌شود. بسیار پیش می‌آید که کسی آغاز به شمردن نوع‌های یک خانواده می‌کند و، بعد، یواشکی و بدون این که برای شنونده (و گاهی حتی برای خودش) روشن باشد، با بهره گرفتن از منطقی ضعیف و ناکافی، به خانواده‌ی دیگری می‌پرد و، سرانجام، اعلام می‌کند که هر دو خانواده را طبقه‌بندی کرده است؛ و شنوندگان یا خوانندگان متوجه نمی‌شوند که، در کجا، از مرز بین نوع‌های دو خانواده گذشته است.