و تبديل معکوس هنکل آن عبارت است از [28] :
(1-26)
که در آن  تابع بسل نوع اول از مرتبه  می‌باشد. با قرار دادن رابطه (1-25) در معادلات (1-22) و (1-23)، اين معادلات به صورت زير درمی‌آيند:
(1-27)
(1-28)
که در آن:
(1-29)
معادله (1-27) يک معادله ديفرانسيل معمولی مرتبه 4 با ضرايب ثابت بوده و جواب آن به شکل زير می‌باشد:
(1-30)
با قرار دادن (1-30) در (1-27) می‌توان به دست آورد:
(1-31)
که در آن:
(1-32)
بنابراين  همانگونه که در رابطه (1-30) نشان داده شده، به صورت زير درمی‌آيد:
(1-33)
که در آن [4] :
(1-34)
به طور مشابه ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏توان نشان داد که جواب معادله (1- 28) عبارت است از :
(1-35)
که در آن:
(1-36)
در معادلات (1-33) و (1-35)  ،  ،  ،  ،  و  توابعي مجهول می‌باشند که با نوشتن شرايط مرزی و شرايط پيوستگی به دست می‏آيند.
1-4 – شرایط مرزی :
مطابق شکل (1-5) محیطی سه بعدی، لایه ای و هر لایه با خاصیت ایزوتروپ جانبی متفاوت از بقیه لایه ها تحت اثر نیروی استاتیکی متمرکز دلخواه به شدت  در سطح  درنظر گرفته می شود.
شکل 1-5 – نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ ایزوتروپ جانبی لایه ای‏ تحت اثر نیروی دلخواه  در سطح
را می توان به یک نیروی افقی و یک نیروی قائم تجزیه کرد:
(1-37)
که در رابطه بالا  معرف امتداد افقی دلخواه و  معرف امتداد قائم بوده و  و  مؤلفه های نیروی  در این امتدادها هستند. بردار نیرویی  می باشد. بر این اساس شرایط مرزی در سطح  در دستگاه مختصات استوانه ای  به صورت زیر می باشد:
(1-38)
که در آن  ،  و  مؤلفه های تانسور تنش در لایه اول می باشند. ضخامت لایه  ام مطابق شکل (1-6) را با  نمایش می دهیم. در این صورت عمق مرز مشترک لایه  ام و  ام برابر  خواهد بود. بنابراین شرایط پیوستگی در مرزهای مشترک دو لایه به فرم زیر نوشته می شود:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(1-39)
که در آن  و  بوده و  ،  و  تغییر مکان های لایه  ام می باشند. حال به منظور به دست آوردن توابع مجهول  ،  ،  ،  ،  و  در معادلات (1-33) و (1-35) باید تبدیل هنکل سری فوریه تنش ها را به دست آوریم. برای این منظور ابتدا باید تبدیل هنکل ضرایب سری فوریه تنش ها را به دست آورد. برای این کار، ابتدا طرفین رابطه (1-11) را بسط فوریه می دهیم که منجر به روابط زیر می شود:
(1-40)
که در آن  ،  و  مؤلفه های بردار تغییر مکان لایه  ام در فضای فوریه می باشند. از ترکیب روابط بالا و با توجه به خواص تبدیل هنکل، به روابط زیر می رسیم:
(1-41)
که در آن  و  به ترتیب تبدیل هنکل مرتبه  و  تابع  ،  و  به ترتیب هنکل مرتبه  و  تابع  و بالاخره  ،  و  به ترتیب تبدیل مرتبه  توابع  ،  و  می باشند.
حال با توجه به روابط کرنش- تغییر مکان (1-9) و روابط تنش- کرنش (1-5) می توان مؤلفه های تانسور تنش را بر حسب توابع  و  به شرح زیر نوشت:
(1-42)
همچنین از ترکیب روابط (1-42) و (1-41) در سطح  می توان نوشت:
(1-43)
که در آن:
(1-44)
به منظور راحتی در نوشتن معادلات، بردار  را مطابق رابطه زیر تعریف می کنیم:
(1-45)
که در آن  نشانگر شماره ی لایه و بالانویس  معرف ترانهاده است. در این صورت در  داریم:
(1-46)
جواب معادلات (1-33) و (1-35) برای لایه  ام به صورت زیر نوشته می شود: