به صورت است که پس از محاسبات زیادی به­دست می ­آید. علاوه بر این هرگاه بخواهیم مقدار y(x) را به ازای x داده شده به­دست آوریم این کار مشکل است. لذا حل عددی معادلات دیفرانسیل مبحثی است که کاربرد زیادی دارد.
این قسمت را با ساده­ترین معادله یعنی معادله مرتبه اول
(۲-۹۳)
شروع می­کنیم که در آن و مقادیر معلومی هستند. هرگاه y جواب معادله دیفرانسیل باشد، y(x_n) را مقدار y به ازاء x_n و y_n تقریبی در نظر می­گیریم یعنی داریم:
(۲-۹۴)
روشی را که بررسی می­کنیم این است که با در نظر گرفتن h و نقاط ، کمیت (x_n) yتوسط y_n تقریب زده می­ شود و y_n را به­دست می ­آید. برای این منظور روش­های زیادی وجود دارد که چند تا از آن­ها را بررسی می­کنیم.

الف- روش بسط تیلور:
یکی از روش­های حل عددی معادلات دیفرانسیل، استفاده از سری تیلور است روش تیلور قابلیت اجرایی
کلی داشته و برای مقایسه دقت روش­های عددی مختلف برای حل یک مسئله مقدار اولیه روش­هایی ارائه می­دهد این روش می ­تواند برای داشتن دقتی از درجه بالاتر ساخته شود.
معادله دیفرانسیل (۲-۹۳) را در نظر بگیرید که معادله­ای از مرتبه اول است و در آن تابع f ممکن است نسبت به y خطی یا غیرخطی باشد. در هر صورت فرض می­کنیم f به اندازه کافی نسبت به x و y مشتق­پذیر باشد. هرگاه باشد در این صورت بسط تیلور تابع y را حول می­نویسیم.
بنابراین خواهیم داشت:
(۲-۹۵)
جواب y(x) مجهول است، مشتقات آن نیز موجود نیست ولی با بهره گرفتن از معادله دیفرانسیل و به شرط وجود مشتقات f نسبت به x و y تا هر مرتبه دلخواه می­توان را بدست آورد. هرگاه در این صورت:
به همین ترتیب می­توانیم مشتقات مرتبه بالاتر را نیز به­دست آوریم. هر چند همان­طور که روابط فوق نشان می­ دهند حتی اگر تابع f تابعی ساده باشد. مشتقات مرتبه بالای y می­توانند پیچیده باشند. لذا امکان استفاده از جملات با مرتبه بالا در سری تیلور نیست. بنابراین بایستی سری (۲-۹۵) را محدود کنیم که این عمل باعث می­ شود که جواب به­دست آمده برای معادله در یک نقطه از فاصله [a,b] با مقدار واقعی جواب، اختلاف داشته باشد.
هرگاه سری (۲-۵۹) را تا مشتق مرتبه k ام بنویسیم در این صورت:
(۲-۹۶)
برای تعیین جواب معادله دیفرانسیل در نقطه h + _۱x = _۲x مراحل بالاتر را تکرار می­کنیم، بنابراین داریم:
(۲-۹۷)
البته در اینجا )_۱y(x را نداریم و ناچار بایستی مقدار تقریبی آن یعنی _۱y را قرار دهیم در نتیجه
(۲-۹۸)
با تکرار روش فوق y را در تمام نقاط برای تعیین می­کنیم.
الگوریتم روش تیلور از مرتبه k:
برای پیدا کردن جواب تقریبی معادله دیفرانسیل مرتبه اول با شرط در فاصله [a,b] به ترتیب زیر عمل می­کنیم:
فاصله [a,b] را به N قسمت مساوی به طول تقسیم کرده و قرار می­دهیم:
با داشتن y_n مقدار تقریبی یعنی را از فرمول زیر به­دست می­آوریم:
(۲-۹۹)
ب- روش اویلر:
همه مسائل با مقدار اولیه را نمی­ توان به طور صریح حل کرد و اغلب پیدا کردن یک فرمول برای جواب y(t) ممکن نیست، مثلاً عبارتی به شکل بسته برای جواب با وجود ندارد. بنابراین برای هدف­های مهندسی و علمی لازم است روش­هایی برای به­دست آوردن جواب تقریبی داشته باشیم. اگر جوابی با تعداد زیادی رقم با معنی نیاز باشد، آنگاه از محاسبات دقیق­تر و الگوریتم پیشرفته_­­تری باید استفاده کرد. که اولین راه روش اویلر است و برای نشان دادن مفاهیم پیچیده در روش­های پیشرفته به کار برده می­ شود. این روش به خاطر داشتن خطای زیاد استفاده محدودی دارد.
هرگاه در الگوریتم تیلور ۱ k = باشد داریم:
(۲-۱۰۰)
این روش به روش اویلر موسوم است.
ج- روش رونگه- کوتا:
در روش تیلور، خطای برش G.T.E (global truncation error) از مرتبه O(h^N) است. N را می­توان بزرگ انتخاب کرد تا خطا کوچک باشد. عیب روش تیلور این است که مشتقات از مرتبه بالاترند و باید N را از پیش تعیین نمود که خیلی پیچیده است. هر روش رونگه – کوتا از یک روش تیلور به طریقی بدست می ­آید که G.T.E از مرتبه O(h^N) باشد.
مبادله­ای صورت می­گیرد تا چندین محاسبه مقدار تابع در هر گام انجام شود و لزوم محاسبه مشتق­های بالاتر حذف گردند. این روش­ها برای هر مرتبه­ای از N می ­تواند ساخته شوند. روش رونگه- کوتا مرتبه چهار (۴N= ) متداول­ترین است. و یک انتخاب خوب برای هدف­های معمولی است، زیرا که کاملاً دقیق و پایدار بوده و از نظر برنامه­نویسی ساده است.
روش رونگه- کوتای مرتبه چهار (RK4) دقت روش سری تیلور مرتبه چهارم را شبیه­سازی می­ کند. اثبات از لحاظ جبری پیچیده است و منجر به فرمولی می­ شود که حاوی یک ترکیب خطی از مقادیر تابع است. ضرایب این فرمول طوری انتخاب می­شوند که این روش در عمل دارای خطای برش از مرتبه در نتیجه یک G.T.E از مرتبه داشته باشد.
برای معادله با شرط و مقدار ثابت h قرار می دهیم:
(۲-۱۰۱)
که در آن:
(۲-۱۰۲)
با تعیین مقدار و داشتن ، مقدار تقریبی یعنی به دست می ­آید.
روش رونگه- کوتا روش پایدار ات یعنی خطاهای کوچک در آن بزرگ نمی­شوند این روش خود آغاز است یعنی فقط و را در نظر می­گیریم و عملیات را ادامه می­دهیم. این روش معایبی هم دارد. در هر مرحله چهار بار محاسبه جداگانه f(x,y) ضروری است خطا هر چند که در هر مرحله از مرتبه ^۵h است ولی مقدارش مشخص نیست. معمولاً h را نصف می­ کنند و محاسبه را تکرار می­ کنند، اگر نتیجه دوم با نتیجه اول سازگار بود آنگاه پی می_­برند که h به اندازه کافی کوچک بوده است. همچنین روش رونگه- کوتا را می­توان به مجموعه ­ای از معادلات مرتبه اول جفت شده تعمیم داد.
در این پروژه برای یافتن راه حل عددی معادله Mathieu در دام پاول و معادله حرکت یون در QIT از روش رونگه – کوتا مرتبه چهار استفاده شده است.
فصل سوم
نمودارهای پایداری و ناپایداری دام یون چهار قطبی هذلولوی
مقدمه :
در فصل دوم دستگاه معادلات دیفرانسیل حاکم بر رفتار یون در دام چهار قطبی الکتریکی هذلولوی بررس شده است.
در این فصل منحنی های موقعیت یون به دام افتاده را به صورت تابعی از زمان، مسیر حرکت یون و منحنی های فاز را به دست می آوریم. نواحی پایداری اول تا سوم این دستگاه معادلات برای به دام اندازی یون محاسبه ورسم شده است.
برای به دام اندازی یک یون مشخص ، باید ولتاژهای U و V فرکانس v و ابعاد دام را به گونه ای انتخاب کرد که پارامترهای داخل این نواحی قرار گیرند با این روش می توان حتی برای مدتی چند هفته یک یون را در فضای کوچکی به دام انداخت . البته برای این منظور، یون باید توسط لیزر سرد شود.