نایفه و یونس [۳۸] پاسخ دینامیکی یک میکروتیر را که توسط یک میدان الکتریکی تحریک شده است بررسی نمودند. مدل غیر خطی است و نیروی الکتریکی که سیستم را تحریک می‌کند از دو بخش مستقیم و متناوب تشکیل شده است، پارامترهای طراحی که در مدل وجود دارند به پارامترهای بی بعد تبدیل شده و روش اغتشاشات مالتیپل اسکیل^[۳۹] برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی غیر خطی به کار گرفته شده است.

رمضانی و همکاران [۲۳, ۳۹, ۴۰] برای یک نانوتیر تحت اثر نیروهای واندروالس، کازمیر و میدان الکتریکی با بهره گرفتن از تابع گرین^[۴۰] ولتاژ کششی و سایر پارامترهای ناپایداری کششی را در حالت استاتیکی تعیین نمودند. مدل آنها برای یک میکرو/نانو تیر یک سر درگیر بود. بنابراین عوامل غیرخطی هندسی در آن لحاظ نشده است. و برای محاسبه نیروی واندروالس نانولوله بصورت تیر مستطیلی مدل شده است. با توجه به نمودار ولتاژ-جابجایی استاتیکی انتهای تیر، ناپایداری کششی را توصیف کردند.
ژی او و همکاران [۴۱] یک مدل میکرو صفحه که از طریق نیروی الکتریکی تحریک شده است را تحلیل ارتعاشی نمودند. ابتدا مودهای ارتعاشی را با بهره گرفتن از روش عددی المان محدود^[۴۱] مرتبه‌ای پیدا کرده، سپس با استفاده ازتقریب گالرکین معادلات دیفرانسیل جزئی میکروصفحه را به تعدادی معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه دو کوپل شده تبدیل نمودند. فرکانس طبیعی و شکل مود سیستم حول موقعیت تعادل، با بهره گرفتن از مسئله مقدار ویژه‌ی خطی محاسبه شده است.
استفاده مکرر از روش های عددی باعث واگرایی پاسخ ها در محدوده‌ی ناپایداری کششی می شوند. نایفه و همکاران [۴۲] با بهره گرفتن از روش گالرکین معادله حاکم بر میکروتیر را به چند معادله معمولی تبدیل کردند (روش کاهش مرتبه^[۴۲]). از طریق روش کاهش مرتبه، میکروتیر تبدیل به یک سیستم چند درجه آزادی با معادلات دیفرانسیل معمولی شده است، تعداد معادلات بستگی به تعداد مودهای در نظر گرفته شده در روش گالرکین دارد. در این مدل ولتاژ مستقیم برابر با صفر در نظر گرفته شده و ولتاژ متناوب به صورت هارمونیک و با فرکانس معینی وارد می‌شود. فرکانس‌های سیستم با بهره گرفتن از مقادیر ویژه ماتریس ژاکوبین بدست آمده است.
عبدالرحمان و همکاران [۴۳] یک مدل غیر خطی از یک میکروتیر که از طریق جریان الکتریکی تحریک می‌شود را ارائه دادند. در این مدل اثر کشیدگی صفحه میانی لحاظ شده است، ابتدا آن‌ها جابجایی میکروتیر را به دو جابجایی استاتیکی و دینامیکی تقسیم نمودند و با بهره گرفتن از روش‌های عددی (مبتنی بر تکرار) مسئله مقدار ویژه مرزی معادله استاتیکی را حل و جابجایی استاتیکی را تعیین کردند. سپس با حل مسأله مقدار ویژه که توصیف کننده ارتعاشات سیستم حول موقعیت استاتیکی است شکل مود و فرکانس‌های طبیعی را بدست آوردند. زمانی که اثر کشیدگی صفحه میانی زیاد می شود روش تکرار (که برای تعیین جابجایی استاتیکی و فرکانس سیستم به کار برده شده است) واگرا می شود.
باترا و همکاران [۱۰] فرکانس اول میکروتیر دو سر در گیر را با بهره گرفتن از یک مدل خطی تقریبی تعیین و صحت نتایج خود را با نرم افزار المان محدود برای تیر سه بعدی بررسی نمودند.
مجاهدی و همکاران [۴۴] ناپایداری کششی استاتیکی میکروتیرهای تحریک شده با میدان الکتریکی را با بهره گرفتن از روش اغتشاشات هموتوپی بررسی‌کرده‌اند.
تاثیر عوامل مختلف بر روی ارتعاشات میکرو و نانو تیرها توسط محققین مختلف بررسی شده است. یونس سازه‌های میکرو را با در نظر گرفتن میرایی ترموالاستیک بررسی کرده است[۴۵]. همچنین نایفه و یونس تأثیرمیرایی لایه هوا را بر فرکانس ارتعاشات مطالعه کرده‌اند[۴۶]. اثر تغییر میدان الکتریکی در کناره‌ها^[۴۳] و اثر تنش پسماند^[۴۴] در ارتعاشات توسط مقیمی زند و همکاران بررسی شده است[۴۷]. تاثیر نیروهای کزیمیر و واندروالس بر روی ارتعاشات و ناپایداری کششی به طور جداگانه برای سازه های میکرو [۴۸-۵۰] و نانو [۲۷] الکترومکانیکی بررسی شده است.

پیشرفت‌های انجام شده در زمینه سنسورها

تکنیک‌های زیادی برای حس کردن جرم خارجی کشف‌ شده ‌است. روش حس استاتیکی یکی از این‌هاست. این روش براساس خیز جابجایی میکروسازه (معمولا تیر یکسرگیردار) می‌باشد تا مقدار جرم اضافه شده روی سطح سازه را اندازه‌گیری کند. با این حال چنین تکنیک‌هایی حساسیت بالایی را برای تشخیص میسر نمی‌سازند. چرا که خیز تیر معمولا خیلی کم است تا از میزان اغتشاش قابل تشخیص باشد. یکی از این روش‌ها برای بهبود بخشیدن به میزان حساسیت استفاده از تکنیک حس دینامیکی است. در این تکنیک، سازه نزدیک فرکانس طبیعی اساسی (در رزونانس اولیه) خودش مجبور به نوسان می‌شود. با جذب شدن ماده‌ای خاص، فرکانس طبیعی تیر کاهش می‌یابد. این تغییر در فرکانس به جرم ماده مربوط می‌شود.
در ادامه خلاصه‌ای از ادبیات کارهای انجام شده در زمینه دینامیکی حسگرها مرور خواهد شد.
توا و همکارانش (۲۰۰۶) [۵۱] یک حسگر جرمی ساخته شده از تیر یکسرگیرداری که الکترواستاتیکی تحریک شده امتحان و بررسی کردند.
باتیستن (۲۰۰۱)، [۵۲] مجموعه‌ای از هشت میکرو تیر را برای شناسایی ماده شیمیایی ارائه کرد. حلقه بسته فازی برای دنبال کردن تغییرات فرکانس طبیعی تیر، بخاطر حضور انواع مختلف مواد تجزیه شونده استفاده شد (مود دینامیک). همزمان اطلاعات خمشی تیر استخراج شدند (مود استاتیک) و مطابقت خوبی برای نتایج هر دو سنجش دینامیکی و استاتیکی نشان‌ داده ‌شد.
ویلارویا (۲۰۰۶) [۵۳] طراحی و پیاده‌سازی آرایه‌ای از تیرک‌ها را برای حسگر ارائه کرد. آرایه به مدار مکمل نیمه‌رسانا اکسیدفلز^[۴۵] وصل شده، و تیرک‌ها الکترواستاتیکی حرکت داده شده تا رزونانس کنند و جریان جابجایی بین تیر و الکترود محرک را ثبت کنند.
کیم (۲۰۰۶) [۵۴] عملکرد حسگر رزوناتور خازنی را با حسگر پیزوالکتریک در شناسایی جرم مقایسه کرد و متوجه شد حسگر خازنی کمتر تحت تأثیر اغتشاش از خود عکس‌العمل نشان می‌دهد.
اِکینسی (۲۰۰۶) [۵۵] رزوناتور حسگر جرمی دو سرگیردار در مقیاس نانو ارائه کرد.
برگ و همکاران(۲۰۰۶) [۵۶] پیرامون عملکرد حسگر جرمی مرتعش الکترواستاتیک برای شناسایی ملکول‌های زنده تحقیق کردند. حسگر شامل یک میکروتیرک شیاردار می‌شد. ملکول‌های بیولوژیکی داخل کانال تزریق می‌شدند. در نتیجه اتصال این ملکول‌ها به دیواره داخلی کانال، فرکانس طبیعی تیر تغییر کرد که به خاطر تمرکز توده ملکول‌ها بود.
ویکولسکو(۲۰۰۵) [۵۷] طراحی، ساخت و تست‌های آزمایشگاهی میکروتیر گاز-حس‌کن^[۴۶] را انجام داد. نیروی الکترواستاتیک برای تحریک و ماده پیزو‌رسِسیتیو برای حس‌کن استفاده ‌شد.
لوچون(۲۰۰۶) [۵۸] از رزوناتور میکروتیر یکسرگیردار برای حس‌کن ماده شیمیایی استفاده کرد. اثر ضخامت پوشش پلیمر روی حساسیت سنسورها بررسی شد. در این کار نشان‌ داده ‌شد وقتی ضخامت پوشش زیاد می‌شود، حساسیت بالا می‌رود اما در همان زمان نویز فرکانسی و زمان پاسخ افزایش می‌یابد. حد بهینه‌ای برای ضخامت پوشش وجود دارد بطوری که بالاتر از آن حسگر احتمالا عمل نمی‌کند.
در کنار روش‌های رایج قدیمی که برای تحریک سنسور مرتعش در رزونانس اولیه برای شناسایی جرم استفاده می‌شد، تحقیقات دیگری اخیراً گسترش یافته که از رفتار دینامیکی پیچیده‌تر رزوناتورها برای بهبود بخشیدن به کارایی آنها بکارگرفته‌ می‌شود. خیلی از این تحقیقات تأثیر بکارگیری مرتبه بالاتر یا مودهای پیچشی ارتعاش در میکرسازه‌ها برای بهبودیافتن حساسیت سنسورها را نشان داده است. قتسار (۲۰۰۷) [۵۹] نشان داد، حساسیت میکروسازه به جرم اضافه شده از لایه فلز طلا، مرتبه بزرگی مودهای اول و هفتم ارتعاش را بهبود می‌بخشد. همچنین آنها یک رابطه خطی بین حساسیت به جرم اضافه شده و مربع عدد مود ارتعاش پیدا کردند. شاروس(۲۰۰۴) [۶۰] با آزمایش نشان داد، حساسیت میکروتیر یکسرگیردار برای حسگر جرمی با بزرگی مرتبه یک می‌تواند افزایش یابد، اگر مودهای خمشی و پیچشی ارتعاش به‌جای مودهای خالص خمشی استفاده شوند.
سیتلین (۲۰۰۵) [۶۱] به طور تحلیلی ثابت کرد حساسیت میکرو تیر یکسرگیردار به جرم اضافه شده در مودهای نوسانی مرتبه بالاتر افزایش می‌یابد.(مثلا مود چهارم به جای مود اول) با این وجود، او این حقیقت را آشکار ساخت که حساسیت تیر به جرم اضافی در مکان‌های مختلف طول تیر و در مودهای ارتعاشی مختلف نیز فرق می‌کند.
به خاطر اینکه نانولوله‌های کربنی دارای خواص متمایز است که ممکن بود به منظور توسعه نسل بعدی از سنسور مورد بهره ‌‌برداری قرار بگیرد، در سال ۲۰۰۶ سینها و همکارانش [۶۲] به بررسی متمایز از خواص فیزیکی، الکترونیکی، مکانیکی CNT^[47] ها پرداختند. انگیزه اصلی آنها در این بررسی، برجسته کردن تحقیقات آینده و توسعه دادن زمینه کار با حسگرهای CNT برای برنامه‌های کاربردی بوده و همچنین چالش های فنی در ارتباط با سنسورهای CNT، ذکر شده است.

اهداف پژوهش و سازماندهی

با توجه به گفته‌های فوق‌الذکر، بیشتر کارهای قبلی روی بهبود حساسیت حسگرها متمرکز شده ‌است. اما توجه کمتری به تحقیق پیرامون کارکردهای دلخواه آنها شده است، که می‌تواند با بهره گرفتن از مزیت‌های فن‌آوری NEMs محقق شود. هدف اصلی‌ از این پژوهش استفاده از ویژگی‌های دینامیکی منحصر بفرد حسگر نانولوله‌کربنی برپایه نانو الکترومکانیک^[۴۸] با تحریک الکترواستاتیک است، تا به سنسورهای دلخواه و هوشیارتری دست ‌‌یابد.
سایر اهداف در مسیر پژوهش حاضر را می‌توان به صورت زیر معرفی نمود:

• • تحلیل سیستم‌های غیرخطی نانو الکترومکانیک با روش تحلیلی برای بعد مکان و روش عددی برای بعد زمان و بدست‌آوردن فرکانس طبیعی آن‌ها وابسته به تغییرات ولتاژ:

۱- با هدف ارائه مدلی که به بهترین نحو و با کمترین خطا رفتار ارتعاشی سیستم را حول موقعیت تعادل استاتیکی بخوبی پیش‌بینی کند.
۲- با تحلیل پایداری بتوان محدوده پایداری سیستم را در مقایسه با مودشیپ^[۴۹]‌های تقریبی کارهای گذشته هرچه دقیقتر تشخیص داد و شدت واگرایی حل عددی مساله را در نزدیکی‌های نقاط ناپایداری کششی کم کرد.

• • بدست آوردن شکل مود متعامد از حل معادله مشخصه ماتریس شرایط مرزی همگن

• • تحلیل دینامیکی نانولوله‌کربن وقتی در نقش نانو سوییچ الکترومکانیکی بکارگرفته می‌شود.

• • بررسی رفتار غیرخطی نانوتیرهای حسگر تحریک‌شده با میدان الکتریکی که نسبت به امکان حضور ذره محرک خارجی در مکان‌های مختلف طولشان حساس هستند.

• • ضرورت استفاده از تئوری غیر محلی و بررسی تاثیر پارامتر غیرموضعی روی ولتاژ تحریک و وابستگی شکل مود‌های خمشی تیر به پارامتر غیرموضعی و ولتاژ الکتریکی

فصل دوم :
مدلسازی مسأله

استخراج معادله حاکم بر مسأله

برای مدلسازی کار حاضر از تئوری تیر اویلر برنولی^[۵۰] استفاده می‌شود. درنظرگرفتن چنین فرضی به خاطر آشکار بودن دو دلیل کلی است. اولاً چون از مدل تیرها برای نانولوله استفاده می‌شود، و ثانیاً چون نسبت طول به ضخامت نانوسوییچ نسبتاً بزرگ است.
در شکل ‏۲‑۱ یک نمونه المان از تیر مدل شده براساس تئوری اویلر-برنولی نشان داده‌ شده ‌است.
شکل ‏۲‑۱: المان تیر اویلربرنولی
معادله تعادل در راستای عرضی را می‌توان به شکل زیر بیان نمود: