معادله ۳-۳
همچنین معادله ۳-۲ را می توان به صورت زیر نوشت :
f(X,β)e (V-U)
مدل و تابع فوق نمایی کلی از توابع مرز تصادفی بوده و به تحلیل مرز تصادفی (SFA) معروف است . این تابع به این علت مرز تصادفی خوانده می شود که :
الف ) مرز محصول Yn میان واحدها نوسان دارد
ب ) محصول مشاهده شده (Y) از طرف بالا به وسیله پیشامد تصادفی Yn=f(X,β)e V مرزبندی می شود.
خصوصیات اصلی مرز تصادفی در نمودار (۳-۱) شرح داده شده است. محور افقی عامل تولید و محور عمودی محصول دو بنگاه i,jومنحنی تابع تولید با فرض بازده نزولی نسبت به مقیاس رسم شده است .
دو بنگاه i,jبه ترتیب با بهره گرفتن از مقدار Xi, Xj از عامل تولید ، مقدار Yi , Yj از محصول تولید می کنند مقدار محصول مرز تصادفی برای بنگاه i ، Yi=f(X,β)eVi است و از آنجا که خطای تصادفی Vi مثبت است آن در بالای منحنی قرار دارد ، همچنین برای بنگاه j مقدار Yj=f(Xj,β)eVj به دلیل منفی بودن خطای تصادفی زیرمنحنی تولید قرار دارد .

Y
Y=eβX
Yi
Yj
Xi
Xj
X
نمودار ۳-۱- عبارت خطا و عامل ناکارایی مرز تصادفی
اگر خطای تصادفی بزرگتر از اثرات عدم کارایی باشد آن گاه محصول مشاهده شده در بالای تابع مرزی قرار می گیرد .
۳-۱۰- روش های آماری مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل داده ها
۳-۱۰-۱- آمار توصیفی
به مجموعه روشهایی که برای سازمان دادن , خلاصه کردن و توصیف مشاهده ها مورد استفاده قرار می گیرند آمار توصیفی می گویند که شامل شاخص های مرکزی( میانگین ، میانه ) و پراکندگی ( انحراف معیار، چولگی و کشیدگی ) می باشند .
۳-۱۰-۲- آمار استنباطی
شامل آزمون های ذیل می باشد :
۱- تعیین رتبه کارایی شعب و اجرای رگرسیون
در این مطالعه از شیوه دو مرحله ای برای تشریح فاکتورهای موثر بر کارایی سود شعب بانک سینا استفاده گردیده است. در مرحله اول با بهره گرفتن از روش SFA و با بهره گرفتن از گروه مشاهدات به رتبه بندی کارایی( θ ) برای هر شعبه پرداخته شده است در مرحله دوم ، برای برآوردهای کارایی به دست آمده در مرحله اول بر روی عوامل تعیین کننده داخلی^[۷۰] با بهره گرفتن از رگرسیون OLS ارزیابی می گردد .
در ادبیات کارایی معمولاً از دو نوع تابع جهت مرزهای هزینه ، درآمد و سود استفاده می شود یکی تابع کاب – داگلاس و دیگری تابع ترانسلوگ . در این تحقیق با توجه به حجم کم داده ها و اینکه استفاده از تابع ترانسلوگ به علت وجود تعداد زیاد متغیرها در آن مدل ، درجه آزادی را کاهش می داد و باعث افزایش واریانس ضرایب می گشت از تابع کاب-داگلاس استفاده شده است .
مرحله اول :
در ابتدا تابع سود که با محصولات ( Y) و قیمت نهاده های تولیدی (W) ارتباط دارد ، به صورت کاب داگلاس تصریح شده و بر اساس معادله (۳-۲) برآورد می گردد و با عنایت به تابع مذکور کارایی واحدها اندازه گیری می شود .
Lnπ = f(W,Y,β)
Lnπ = α + ∑βj ln yj + ∑ lnWk + lnVπ- lnUπ
که در معادله فوق به ترتیب :
π = سود شعب
Yj = نسبت محصولات شعب به مجموع دارایی های شعب
Y1 = نسبت تسهیلات به مجموع دارایی های شعب
Y2= نسبت سرمایه گذاری ها به مجموع دارایی های شعب
Y3= نسبت سپرده های نزد سایر بانک ها به مجموع دارایی های شعب
Wk= عوامل تولید
W1 = لگاریتم قیمت نیروی کار
W2= لگاریتم قیمت سرمایه فیزیکی
W3= لگاریتم قیمت سرمایه مالی
مرحله دوم :
همانگونه که بیان شده در این مرحله ، برآوردهای کارایی به دست آمده در مرحله اول را بر روی عوامل تعیین کننده با بهره گرفتن از رگرسیون OLS رگرس می گردد .
هدف برآورد تابعی به شکل زیر می باشد :
θ = αZi + ε
که در آن :
θ = رتبه کارایی بدست آمده در مرحله اول
Z= بردار متغیر مستقل که همان متغیر های ذکر شده در مرحله اول می باشد.
α= ضرایب رگرسیون می باشد که حاکی از اثر یک متغیر مستقل بر متغیر وابسته است که بایستی برآورد شود
ϵ= جمله خطا می باشد .
در اجرای رگرسیون به موارد ذیل نیز پرداخته خواهد شد :
۱-آزمون کولموگروف – اسمیرنف^[۷۱]
برای آزمون نرمال بودن داده ها از آزمون کولموگروف – اسمیرنف استفاده می شود که فرضیه آن به صورت زیر است:
آماره آزمون کولموگروف – اسمیرنف به شکل زیر تعریف می شود :
= sup
که در آن   توزیع مورد نظر برای مشاهدات و   توزیع تجربی مشاهدات می باشد .
نحوه داوری : اگر مقدار احتمال مربوط به این آزمون بزرگتر از ۰۵ /۰ باشد با اطمینان ۹۵/۰ می توان نرمال بودن توزیع داده ها را مورد تایید قرار داد . اگر مقدار احتمال محاسبه شده از ۰۵/۰ کمتر باشد، در این صورت H0 رد و H1 پذیرفته می شود و برای نرمال بودن داده ها از لگاریتم آنها استفاده می گردد . ( مومنی ، ۱۳۸۹)
۲- ضریب تعیین