۳-۳۱
همانطور که مشاهده می­ شود این بردار تنها دارای شش متغیر می­باشد. در این بردار (xc1,yc1) مختصات مرکز یک حفره و (xc2,yc2) بیان کننده مختصات مرکز حفره دوم می­باشد.r1 و r2 نیز به ترتیب بیانگر شعاع­های دو حفره می­باشند. این در حالی است که اگر قرار باشد از همان ابتدا الگوریتم ژنتیک موقعیت و شکل حفره­ها را به صورت واقعی حدس بزند با فرض المان بندی مرز هر حفره با ۶ المان، بردار متغیرها به صورت زیر تبدیل می­ شود.
۳- ۳۲
شکل زیر شیوه نمایش یک حفره را توسط یک مرکز و شعاع هایش نشان می دهد.
شکل شماره۳-۹: نحوه مش بندی مرز حفره­ها
با توجه به افزایش بسیار زیاد متغیر­ها الگوریتم ژنتیک نمی­تواند عملکرد مناسبی داشته باشد. از این رو همان­طور که گفته شد الگوریتم ژنتیک مرز دو حفره را به صورت دایره­ای تشخیص می دهد. تا این مرحله از الگوریتم حدودی از جواب­ها به صورت دایره­ای مشخص می­شوند که این جواب­ها حدس اولیه روش گرادیان مزدوج می­باشند. در واقع روش گرادیان مزدوج وظیفه نزدیک­تر کردن جواب­ها به جواب واقعی را بر عهده دارد. در این حالت جواب­ها به صورت کلی در نظر گرفته شده و دیگر به فرم خاصی نمی باشند. در روش گرادیان مزدوج مقدار تابع هدف تا آنجا که ممکن است در راستای بردار گرادیان کوچک شده و جواب­ها به جواب­های نهایی نزدیک­تر می­شوند. در مرحله بعدی بهینه سازی، احتیاج به روشی می­باشد که دیگر به گرادیان تابع هدف نیازی نداشته باشد، از اینرو از روش سیمپلکس که در زمره روش­های بدون نیاز به مشتق­گیری قرار دارد، استفاده می­ شود. حدس اولیه این روش، جواب به دست آمده از روش گرادیان مزدوج می­باشد. با بهره گرفتن از این روش، مقدار تابع هدف باز هم کوچک­تر می­ شود و جواب­ها به جواب­های واقعی نزدیک­تر می­گردند.
فصل چهارم: بررسی نتایج
۴-۱ مقدمه
در فصل گذشته به توضیح نحوه عملکرد برنامه رایانه­ای طراحی شده برای حل مسائل معکوس و الگوریتم­های بهینه سازی مورد استفاده در آن پرداخته شد. در این فصل با حل نمونه­هایی به بررسی عملی عملکرد شیوه ارائه شده پرداخته می­ شود و نتایج با نتایج به دست آمده در سایر پژوهش­ها مقایسه می­گردد.

۴-۲ تنظیمات استفاده شده در برنامه رایانه­ای
همان طور که در فصل قبل توضیح داده شد در این پژوهش برای تشخیص معکوس دو حفره در یک دامنه از سه مرحله بهینه سازی استفاده می­ شود.
مرحله اول الگوریتم ژنتیک که حدس اولیه روش گرادیان مزدوج را با تشخیص حفره­ها به صورت دایره­ای نشان می­دهد.
مرحله دوم روش گرادیان مزدوج که در راستای بردار گرادیان اقدام به محاسبه بردار متغیر­­ها در حالت کلی می­ کند و حدس اولیه روش سیمپلکس را محاسبه می­ کند.
مرحله سوم که روش سیمپلکس بوده و بدون نیاز به مشتق گیری و صرفاً با محاسبه مقدار تابع هدف در نقاط مختلف جواب های نهایی را محاسبه می­ کند.
هر کدام از روش­های بهینه سازی استفاده شده در این پژوهش دارای معیار هایی برای ایست می­باشند که درصورتی که این معیار­ها برآورده گردند، الگوریتم متوقف شده و وارد مرحله بعد می­گردد. در ادامه این معیار­ها و تنظیمات دقیق­تر هر روش بهینه سازی ارائه می­گردد. لازم به ذکر می­باشد که این معیار­ها به صورت کاملاً تجربی و با بررسی تعداد زیادی مثال تعیین گردیده­اند.
۴-۲-۱تنظیمات مربوط به عملکرد الگوریتم ژنتیک برای حفره­های دایره­ای
۴-۲-۱-۱ تنظیمات توابع الگوریتم ژنتیک
نوع کد گذاری مورد استفاده : دودویی
تعداد افراد مورد استفاده در جامعه : ۱۰۰۰
تعداد نسل­ها : ۱۰۰
تابع برازش: تابع هدف به ازای بردار­های متغیر مورد بررسی قرار می­گیرد و متغیر­هایی که مقدار کمتری را ایجاد کنند، مقدار برازندگی بهتری می­گیرند.
انتخاب: انتخاب رقابتی است
فرایند جفت­گیری: به صورت ادغام دو نقطه­ای است
فرایند جهش: به صورت پراکنده
۴-۲-۱-۲ معیار­های ایست الگوریتم ژنتیک
هنگامی­که ۱۰۰نسل تنظیم شده طی شود.
هنگامی­که طی ۵۰ نسل مقدار تابع هدف به ازای بردار محاسبه شده تغییری کمتر از ^۶-۱۰ داشته باشد.
هیچ محدودیت زمانی برای الگوریتم پیش بینی نشده است.
اگر الگوریتم هر کدام از معیار های ذکر شده در بالا را برآورده کند متوقف می­ شود. به طور مثال ممکن است با کمتر شدن تغییرات مقدار تابع هدف طی ۵۰ نسل از مقدار تعیین شده(^۶-۱۰) پیش از رسیدن به تعداد ۱۰۰ نسل، الگوریتم متوقف گردد.
۴-۲-۲ تنظیمات عملکرد روش گرادیان مزدوج
همان طور که گفته شد حدس اولیه روش گرادیان مزدوج توسط مرحله اول بهینه سازی یعنی الگوریتم ژنتیک محاسبه می­ شود. برای روش گرادیان مزدوج نیز معیار­هایی برای ایست الگوریتم و ورودی اطلاعات به دست آمده به روش سیمپلکس وجود دارد. این معیار­ها به صورت زیر می­باشند.
۴-۲-۲- ۱معیار­های ایست روش گرادیان مزدوج
حد­اکثر تعداد تکرار ۲۰۰
اگر مقدار تابع هدف به ازای ۳۰ تکرار الگوریتم تفاوتی کمتر از ^۱۲-۱۰کرد ، الگوریتم متوقف گردد.
در­صورتی که الگوریتم هر­کدام از این معیار­ها را برآورده کرد الگوریتم متوقف شده و جواب­ها به عنوان حدس اولیه وارد الگوریتم سیمپلکس می شود.
۴-۲-۳ روش سیمپلکس
با توجه به معیار­های ایست انتخاب شده در روش گرادیان مزدوج مقدار تابع هدف تا آن­جا که ممکن است در راستای بردار گرادیان کوچک می­ شود. جواب­های به دست آمده از روش گرادیان مزدوج به عنوان حدس اولیه وارد الگوریتم روش سیمپلکس می شود تا مقدار تابع هدف باز هم کوچک­تر شود.
۴-۲-۳-۱ معیار­های ایست روش سیمپلکس
حد­اکثر تعداد تکرار ۲۰۰۰
اگر مقدار تابع هدف به ازای ۵۰ تکرار الگوریتم تفاوتی کمتر از ^۱۰-۱۰کرد ، الگوریتم متوقف گردد.
درصورتی­که الگوریتم هر کدام از این معیار­ها را برآورده کرد، الگوریتم متوقف شده و جواب­ها به عنوان جواب نهایی وارد مرحله محاسبه خطا می­شوند.
۴-۲-۲تنظیمات مربوط به عملکرد الگوریتم ژنتیک برای حفره های غیر دایره­ای
۴-۲-۲-۱ تنظیمات توابع الگوریتم ژنتیک
نوع کد گذاری مورد استفاده : دودویی
تعداد افراد مورد استفاده در جامعه : ۱۰۰۰
تعداد نسل­ها : ۱۰۰۰
تابع برازش: تابع هدف به ازای بردار­های متغیر مورد بررسی قرار می­گیرد و متغیر­هایی که مقدار کمتری را ایجاد کنند، مقدار برازندگی بهتری می­گیرند.
انتخاب: انتخاب رقابتی است
فرایند جفت­گیری: به صورت ادغام دو نقطه­ای است
فرایند جهش: به صورت پراکنده
۴-۲-۲-۲ معیار­های ایست الگوریتم ژنتیک
هنگامی­که ۱۰۰۰نسل تنظیم شده طی شود.
هنگامی­که پس از طی ۱۰۰ نسل مقدار تابع هدف به ازای بردار محاسبه شده تغییری کمتر از ^۴-۱۰ داشته باشد.
هیچ محدودیت زمانی برای الگوریتم پیش بینی نشده است.
اگر الگوریتم هر کدام از معیارهای ذکر شده در بالا را برآورده کند متوقف می­ شود. به طور مثال اگر تغییرات مقدار تابع هدف طی ۱۰۰ نسل از مقدار تعیین شده (^۴-۱۰) کمتر باشد، پیش از رسیدن به تعداد ۱۰۰۰ نسل، الگوریتم متوقف گردد.
۴-۲-۳ تنظیمات عملکرد روش گرادیان مزدوج