شکل ۳: چگالی خی دو با دو درجه آزادی………………………………………………………………………………..۲۴
فهرست نشانه های اختصاری
فصل اول: مقدمه
۱- مقدمه
۱-۱- مقدمه و تاریخچه
بدلیل اینکه ضریب تغییرات به واحد اندازه گیری بستگی ندارد، معیاری مناسب جهت مقایسه پراکندگی چند جامعه با واحد های اندازه گیری مختلف می باشد و به همین دلیل نیز ضریب تغییرات مورد توجه آمار دانان قرا گرفته است. هدف ما در این پایان نامه ارائه آزمونی برای آزمودن برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال براساس آزمون والد[۱] و روش بوت استراپ پارامتری[۲] می باشد. تاکنون روش های مختلفی برای آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند؛ اما هیچ یک از روش های ارائه شده دقیق نیستند به این معنی که خطای نوع اول آنها دقیقا در سطح اسمی آزمون نمی باشد. از مهمترین روش ها می توان به این موارد اشاره کرد. بنت[۳] در سال ۱۹۷۶ آزمونی براساس روش نسبت درستنمایی ارائه کرد. همچنین گوپتا و ما[۴] در سال ۱۹۹۶، رائو و جوز[۵] در سال ۲۰۰۱ و نیری و رائو[۶] درسال ۲۰۰۳ آزمون والد را برای این مساله به کار گرفتند. تسو[۷] در سال ۲۰۰۹ از آزمون تقریبی نمره[۸] جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات استفاده کرد. اخیرا نیز، لیو و همکاران[۹] (۲۰۱۰)، جعفری و کاظمی ( ۲۰۱۳) و کریشنامورتی و میسوک لی[۱۰] (۲۰۱۴) به ترتیب روش هایی بر اساس p- مقدار تعمیم یافته، بوت استراپ پارامتری و آزمون نسبت درستنمایی ارائه نمودند و خطای نوع اول و توان آزمون خود را با بهره گرفتن از شبیه سازی با روش های موجود مقایسه کردند. ما نیز در این پایان نامه، ابتدا با بهینه سازی روش جعفری و کاظمی (۲۰۱۳) روشی جدید بر پایه والد و بوت استراپ پارامتری جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه می دهیم و سپس با بهینه سازی آزمون والد روش جدید دیگری که عملکرد نسبتا بهتری نسبت به سایر روش ها دارد معرفی می کنیم. اما آماره آزمون ما متفاوت از جعفری و کاظمی (۲۰۱۳) می باشد. از آن جهت که در هر مساله آزمون فرض آماری، ارائه روشی که بتواند خطای نوع اول را به نحو مطلوبی کنترل کند اهمیت دارد نخست با بهره گرفتن از شبیه سازی، خطای نوع اول روش جدید پیشنهادی را با روش های نیری و رائو (۲۰۰۳)، لیو و همکاران (۲۰۱۰)، کاظمی و جعفری ( ۲۰۱۳ ) و کریشنامورتی و میسوک لی (۲۰۱۴) مقایسه می کنیم. نتایج شبیه سازی نشان می دهد که بر اساس خطای نوع اول، روش جدید پیشنهادی و کریشنامورتی و میسوک لی (۲۰۱۴) عملکرد بهتری نسبت به دیگر روش ها دارند. لذا فقط توان آزمون روش جدید پیشنهادی، با روش ارائه شده توسط کریشنامورتی و میسوک لی (۲۰۱۴) مقایسه می گردد. نتایج شبیه سازی نشان می دهد که در برخی موارد، توان آزمون روش جدید پیشنهادی بهتر از روش کریشنامورتی و میسوک لی (۲۰۱۴) می باشد. در مواردی نیز عکس این موضوع اتفاق می افتد و در برخی موارد دیگر، عملکرد این دو روش از دیدگاه توان مانند هم است. همچنین لازم به ذکر است که روش جدید پیشنهادی از لحاظ محاسباتی ساده تر از روش کریشنامورتی و میسوک لی (۲۰۱۴) است. ساختار پایان نامه به صورت زیر می باشد. در فصل ۲، روش های مختلفی برای آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال تاکنون ارائه شده است از جمله روش های لیو و همکاران (۲۰۱۰)، جعفری و کاظمی (۲۰۱۳)، روش جدید بهینه شده جعفری و کاظمی (۲۰۱۳)، کریشنامورتی و میسوک لی (۲۰۱۴) و آزمون والد نیری و رائو (۲۰۰۳) را به طور مختصر معرفی می کنیم. در فصل ۳ آزمون جدیدی که براساس روش والد و استفاده از روش بوت استراپ پارامتری می باشد پیشنهاد و شرح می دهیم. در فصل ۴، با بهره گرفتن از شبیه سازی به مقایسه آزمون جدید پیشنهادی با روش های دیگر از دیدگاه کنترل خطای نوع اول و توان آزمون می پردازیم. در همین فصل با ارائه یک مثال به توصیف روش های ارائه شده می پردازیم و با نتیجه گیری مبحث را به پایان خواهیم برد.
در این قسمت، نخست به معرفی نماد ها و مفاهیم اولیه مورد نیاز می پردازیم. سپس روش هایی را که اخیرا جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند معرفی می کنیم.
۱-۲- آشنایی با نماد ها
فرض کنید برای نشان دهنده – امین نمونه از - امین جامعه نرمال با میانگین و واریانس باشد. میانگین و واریانس جامعه - ام به صورت زیر برآورد می شوند:
. و
همچنین و را به عنوان مقادیر مشاهده شده از و در نظر می گیریم. ضریب تغییرات جامعه - ام را با نشان می دهیم. هدف ما انجام آزمون برای فرضیه های زیر است :
واضح است که فرضیه های فوق معادل با
است که در آن می باشد.
اگر ماتریس مقابله ها با اندازه و برداری باشد به طوری که
و
آنگاه فرضیه مورد علاقه را می توان به صورت زیر نوشت:
در ادامه روش هایی را که اخیرا جهت آزمون فرض معرفی شده اند بیان
می کنیم.
۱-۳- p- مقدار تعمیم یافته
فرض کنید یک متغیر تصادفی از توزیعی با پارامترهای باشد به گونه ای که پارامتر مورد علاقه و پارامتر مزاحم میباشد. (پارامتر مزاحم پارامتری است که در توزیع متغیر وجود دارد اما پارامتر مورد علاقه نیست.)
فرض کنید علاقهمند به آزمون در مقابل هستیم به گونه ای که مقداری مشخص و معلوم میباشد. همچنین فرض کنید نشان دهنده مقدار مشاهده شده متغیر باشد. آماره تعمیم یافته که یک کمیت تصادفی است و به مقدار مشاهده شده و پارامترها بستگی دارد را به همراه شرایط زیر در نظر بگیرید:
توزیع آماره به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.
مقدار مشاهده شده یعنی به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.
به ازای و ثابت، نسبت به غیر نزولی باشد. (۳-۲-۱)
براساس شرایط فوق p- مقدار تعمیم یافته به صورت زیر تعریف می شود:
به گونه ای که است.
۱-۴- روش بوت استراپ پارامتری
در این روش ابتدا پارامتر مجهول مورد علاقه را با توجه به مشاهداتی که در اختیار داریم برآورد و سپس آن را جایگزین پارامتر مجهول می کنیم و نمونه ای دیگر از توزیع مورد نظر که برآورد پارامتر مجهول از مشاهدات جایگزین آن شده است را تولید میکنیم. (Efron, 1993). در واقع با نمونه گیری به دفعات زیاد با روش بوت استراپ پارامتری، می توان توزیع آماره ای را که توزیع آن نامعلوم است، تخمین زد.
۱-۵- معرفی آماره آزمون والد
فرض کنید باشد. در حالت کلی اگر برداری از متغیرهای تصادفی باشد به طوری که آنگاه
و اگر آنگاه
فصل دوم: معرفی روش های موجود برای آزمودن برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال
۲- معرفی روش های موجود
روش لیو و همکاران (۲۰۱۰)
روش لیو و همکاران (۲۰۱۰) بر اساس مفهوم کمیت های تعمیم یافته می باشد (ویرهاندی[۱۱]، ۱۹۹۵). در این روش، کمیت های تعمیم یافته برای و به صورت زیر می باشند:
و
که در آن و . بنابراین کمیت تعمیم یافته برای به صورت
می باشد. همچنین آماره آزمون به صورت زیر معرفی می شود:
. و
که در آن
با توجه به اینکه:
.
در حالت کلی نشان دهنده ماتریس قطری است که اعضای روی قطر اصلی آن ها هستند.
فرض صفر در سطح زمانی رد می شود که
برای جزئیات بیشتر جهت محاسبه احتمال فوق به لیو و همکاران (۲۰۱۰) مراجعه کنید.
۲-۳- روش جعفری و کاظمی (۲۰۱۳)
ساختار آماره این آزمون شبیه به آماره والد می باشد.اگر و را به صورت زیر تعریف کنیم.
و
آنگاه آماره آزمون به صورت زیر معرفی می شود:
