تبیین رابطه بین ورزش و رشد اقتصادی با بهره گرفتن از مدل رشد و مبانی ریاضی آن
در مدل رشد اقتصادی، اقتصادی را فرض کنید که درآن خانوار تنها عامل تولید کالاها و نیز عرضه­کننده عامل تولید است. همچنین فرض می­ شود که هر خانوار دوره زمانی t را صرف تحقق سه هدف می­ کند: انباشت سرمایه  ، تولید کالا  و ورزش و فراغت  .

که در آن  زمان سپری شده برای انباشت سرمایه انسانی،  زمان صرف شده برای تولید و  نیز زمان صرف شده برای ورزش و فراغت می­باشد. با توجه به اینکه ورزش نقش اساسی در سلامت فرد دارد، باعث افزایش بهره­وری شده و بهبود سرمایه انسانی را در پی دارد. این ادعا را می­توان از طریق نظریه سرمایه انسانی بکر^[۳۸] که در فصل گذشته توضیح داده شد توجیه کرد. بکر نشان می­دهد که ورزش دارای مشخصات کالای سرمایه­ای است که فرد از آن، عایدی بدست می ­آورد. ورزش باعث می­ شود که فرد سالم­تر زندگی کرده، بهره­وری آن افزایش یافته و باعث افزایش تولید ملی ­شود. در واقع، به نظر بکر، زندگی افراد مثل ماشین­های مختلف می­باشد که می­توانند کیفیت­های مختلف داشته باشند. این تفاوت کیفیت، از طریق ورزش ایجاد می­ شود. با توجه به نظر بکر، ورزش باعث بهبود سرمایه انسانی می­ شود (گراتون و تیلور، ۲۰۰۲). اگر  را سرمایه انسانی بدون ورزش در نظر بگیریم لذا  بهبود یافته سرمایه انسانی است که با وجود ورزش بدست آمده است، لذا داریم (زیرنویس زمان (t) برای سادگی نگارش حذف شده است):

از این رو انباشت سرمایه انسانی می ­تواند بصورت زیر تعریف گردد:

که در آن  عامل کارآیی (تحصیلات – دانش) و  مشتق زمانی   می­باشد.
لذا تابع تولید بصورت زیر تعریف می­ شود:

که بر اساس سرانه نیروی کار بصورت زیر در می ­آید:

که  تولید سرانه،  سرمایه سرانه و  عامل بهره­وری می­باشد.
انباشت سرمایه بصورت  تعریف می­ شود که در آن  :  و  پس­انداز سرانه می­باشد.
محدودیت بودجه دولتی نیز بر حسب سرانه بصورت زیر است:

که  سرانه هزینه­ های دولت و  نرخ ثابت مالیات بر درآمد می­باشد (با این فرض که درآمد دولت فقط از محل مالیات­ها تأمین می­ شود).
حال در نظر بگیرید که تابع مولد ورزش بصورت زیر تعریف شود:

نشان دهنده مخارجی است که در ورزش صورت می­گیرد و  نشان دهنده درآمد قابل تصرف می­باشد. همان­طور که ملاحظه می­ شود رابطه بین ورزش و مولد ورزش بصورت صعودی کاهنده می­باشد.
اگر ورزش صورت نگیرد  آنگاه تابع مولد ورزش برابر با صفر خواهد بود
نمودار (۳-۱) ارتباط بین زمان اختصاصی به ورزش و مخارج ورزشی سرانه را نشان می­دهد. در واقع با افزایش زمان ورزش، مخارج سرانه ورزش افزایش می­یابد ولی این افزایش کاهنده می­باشد.
رابطه بین زمان اختصاصی به ورزش و مخارج ورزشی سرانه
باید تابع مصرف، با توجه به قیود مشخص، ماکزیمم شود:
s.t:
(۸)
و  به ترتیب نرخ رجحان زمانی و نرخ تنزیل می­باشند.
پس­انداز سرانه برابر است با
که در آن،  : درآمد قابل تصرف،  : مخارج ورزشی یا مولد ورزشی و  : مصرف سرانه می­باشد. در واقع نشان می­دهد که پس­انداز سرانه، از اختلاف بین درآمد قابل تصرف با مخارج ورزشی و مصرف سرانه بدست می ­آید.
و چون  و  آنگاه می­توان  را بصورت زیر نوشت:
(۹)
(۱۰)
تابع همیلتون را تشکیل داده و آن را حل می­کنیم:
(۱۱)

بعد از لگاریتم­گیری و سپس مشتق­گیری بر حسب زمان از هر دو طرف معادله (۱۲) داریم:
(۱۷)
از معادله (۱۳) داریم:
(۱۸)
از معادله (۱۶) داریم:
(۱۹)
از معادلات (۱۸) و (۱۹) داریم:
(۲۰)
با لگاریتم­گیری و سپس مشتق­گیری از طرفین معادله (۱۸) می­توان به نتیجه زیر رسید:
(۲۱)
از معادلات (۱۷) و (۲۰) و (۲۱) داریم:
(۲۲)