شکل ‏۲‑۵: نمایی از ماتریس اسپارس برای یک شبکه­ اولیه­ مستطیلی با ابعاد . ابعاد ماتریس اسپارس تولید شده برای چنین شبکه­ ای بصورت می­باشد.

روش گرادیان مزدوج دوگانه یک ابزار کلی برای حل سیستم خطی است. جذابیت این روش در این است که برای دستگاه های بزرگ اسپارس، تنها از طریق ضرب خودش یا ترانهاده­­اش در یک بردار بکار گرفته می­ شود. این روش می ­تواند برای یک ماتریس که به صورت مناسبی ذخیره شده است، بسیارکارآمد باشد. در واقع فرد می تواند زیر برنامه ای تهیه کند که ضرب های ماتریس را به کارآمد ترین صورت ممکن انجام دهد و از طریق زیربرنامه­ی لین بی سی جی^[۷۰]، مجموعه معادلات خطی را حل کند[۶۴].
در ادامه یک نمونه از دستگاه معادلات خطی بدست آمده، برای یک شبکه­ اولیه­ مربعی با ابعاد ، که با نوشتن رابطه­ ۲-۳۰ برای هر یک از خانه­های شبکه حاصل شده، آورده شده است. برای این شبکه، شرایط مرزی را همانطور که در شکل ۲-۶ نشان داده­ شده، به این صورت در نظر گرفته ایم که در راستای قائم شرایط مرزی تناوبی و در امتداد افقی، اختلاف پتانسیل معین را اعمال کرده ایم.
شکل ‏۲‑۶ : نمایی از شبکه­ گسسته شده به همراه خانه های اضافه شده برای اعمال شرایط مرزی.
شرایط مرزی برای پتاسیل را می­توان با روابط زیر نشان داد، که در آنها می­باشد.
(۲-۳۵) و
همچنین برای رسانندگی مو ضعی، ، نیز شرایط مرزی زیر در نظر گرفته شده است.
(۲-۳۶) و
نمونه‌ی دستگاه معادلات خطی به صورت زیر است:
مؤلفه‌های ماتریس ضرایب نیز بصورت زیر می­باشند.
,
,
,
,
, , , ,
, , , ,
, , , ,

نتایج عددی

در این فصل، ابتدا به بررسی مورفولوژی سطوح رشد یافته، توسط نشست ذرات خطی با بهره گرفتن از مدل ، که جزئیات فرایند رشد آنها را در فصل اول شرح دادیم، خواهیم پرداخت. برای این منظور، پهنای فصل مشترک، ، این سطوح را توسط رابطه­ ۱-۳ محاسبه خواهیم کرد و سپس با توجه به این کمیت و رابطه­ فامیلی-ویچک، نماهای مقیاسی را برای این سطوح بدست آورده و کلاس جهانی سطوح رشد یافته را مورد بررسی قرار می­دهیم. همچنین با توجه به اهمیت تخلخل چنین سطوحی، به بررسی تحولات تخلخل برحسب زمان و اندازه­ ذرات خواهیم پرداخت. در بخش دوم، به ارائه­ نتایج حاصل از محاسبه­ی رسانندگی مؤثر وابسته به فرکانس بارهای آزاد و رسانندگی مستقیم سطوح رشد یافته، با بهره گرفتن از روابطی که در فصل دوم بدست آوردیم، خواهیم پرداخت. تحولات زمانی رسانندگی سطوح را در طی فرایند رشد مورد مطالعه قرار می­دهیم و به بررسی چگونگی وابستگی رسانندگی مؤثر به میزان تخلخل سطوح، اندازه­ ذرات و فرکانس می­پردازیم.

۳-۱ بررسی نماهای مقیاسی سطوح رشد یافته توسط نشست ذرات خطی

۳-۱-۱ نشست ذرات یکسان

برای بررسی تحولات زمانی زبری و نما­های مقیاسی سطوح رشد یافته از نشست ذرات خطی یکسان، در طی فرایند رشد، تغییرات پهنای فصل مشترک، ، بر حسب زمان محاسبه شده و نمودار تغییرات لگاریتم بر حسب لگاریتم رسم می­ شود. شکل ۳-۱ نمودار­های لگاریتمی تحولات زمانی ، به ازای نشست ذرات خطی با طول بر روی زیر لایه ­هایی با طول­های متفاوت را نشان می_­­دهد. مطابق شکل همگی این نمودار­ها دارای سه رفتار متفاوت در زمان­های مختلف می­باشند، به این ترتیب که در زمان­های اولیه و میانی دارای دو رفتار خطی با شیب­های متفاوت هستند و در زمان­های طولانی­تر به اشباع می­رسند.
شکل ‏۳‑۱: منحنی تغییرات پهنای زبری بر حسب زمان برای سطوح رشد یافته از انباشت ذرات خطی یکسان با طول ، بر روی زیر لایه ­هایی با اندازه­ های متفاوت. نتایج ارائه شده برای بر روی ۱۵۰۰ نمونه ، برای برروی۵۰۰ نمونه و برای بر روی ۲۰۰ نمونه میانگین گیری شده است.
همان طور که در شکل ۱-۳ مشاهده می­ شود، تحولات زمانی در زمان­های میانی دارای شیب کمتری نسبت به زمان­های اولیه است که این مطلب بیانگر شروع همبستگی در سیستم و تأثیر آن در نرم کردن فصل مشترک می­باشد.
شیب نمودارها در زمان­های قبل از اشباع را، که طبق رابطه­ ۱-۴ بیانگر نمای رشد هستند، با نماد و معرفی می­کنیم. نتایج عددی برای شکل ۳-۱ نشان می­دهد که نمای برای همه نمودارها یکسان بوده و دارای مقدار است، بنابراین نتیجه می­گیریم که در این ناحیه تغییرات مستقل از طول زیر لایه می­باشد. چنانچه در شکل نیز مشاهده می­ شود، نمای که معرف شیب زمان­های میانی است، به طول زیر لایه وابسته است. بنابراین برای محاسبه­ی مناسب­تر کمیت بهتر است این کمیت برای زیر لایه با سایز بسیار بزرگ برون یابی شود. برای این منظور در شکل ۳-۲، نمودار تغییرات این کمیت، بر حسب ، که طول زیر لایه می­باشد، رسم شده است که با برازش خطی این داده ­ها بطوریکه در شکل مشاهده می­ شود مقدار بدست می ­آید.
شکل ‏۳‑۲: برازش خطی مقادیر بدست آمده برای به ازای زیر لایه ­ها­ی مختلف.
میانگین خطای کلیه­ داده ­ها از مرتبه­ی می­باشد.
با توجه به آنچه در شکل ۱-۳ دیده می­ شود، درناحیه­ی اشباع ، مستقل از زمان است و تنها تابعی از طول زیر لایه می­باشد. دراین حالت زبری سطح توسط نمای و با رابطه­ ۱-۶ توصیف می­ شود. با توجه به این رابطه، () ، برای بدست آوردن نمای زبری ، نمودار برحسب در شکل ۳-۳رسم شده است. شیب این نمودار بیانگر نمای می­باشد که مقدار برای آن بدست می ­آید.
در جدول ۳-۲ نماهای مقیاسی بدست آمده، برای سطوح رشد یافته توسط انباشت ذرات یکسان با طول­های، ، برای زیر لایه­ی ، آورده شده است.
شکل ‏۳‑۳: منحنی تغییرات پهنای زبری در حالت اشباع برای زیرلایه های مختلف، شیب بدست آمده بیانگر نمای زبری می­باشد.
جدول ۳-۱: نماهای مقیاسی رشد و زبری برای سطوح رشد یافته از نسشت ذرات خطی یکسان بر روی زیر لایه­ای با طول . نتایج ارائه شده به ازای ۲۰۰ بار میانگین گیری می­باشد و میانگین خطای کلیه­ داده ­ها از مرتبه­ی وکوچکتر از آن است.